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第一部分 一般解法1

第一章 一阶微分方程1

1.已解出导数的微分方程：y =f(x,y)；基本概念1

1.1.微分方程的表示法和几何意义1

1.2.解的存在和唯一性2

2.已解出导数的微分方程：y =f(x,y)；解法4

2.1.折线法4

2.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法5

2.3.幂级数的应用8

2.4.级数展开的更一般的情况8

2.5.按参数展开的级数11

2.6.同偏微分方程的联系11

2.7.估值定理12

某些记号14

2.8.对于大的x值解的性状15

3.1.关于解和解法16

3.未解出导数的微分方程：F(y ,y,x)=016

3.2.正则线素和奇异线素18

4.特殊类型的一阶微分方程的解19

4.1.可分离变量的微分方程19

4.2.y =f(ax+by+c)20

4.3.线性微分方程20

4.4.线性微分方程解的渐近性质21

4.6.齐次微分方程与可化为齐次的微分方程24

4.5.伯努利方程.y +f(x)y+g(x)ya=024

4.7.广义齐次方程26

4.8.特殊的黎卡提方程：y +ay2=bxa27

4.9.一般的黎卡提方程：y =f(x)y2+g(x)y+h(x)28

4.10.第一类阿贝耳方程32

4.11.第二类阿贝耳方程35

4.12.全微分方程37

4.13.积分因子38

4.14.F(y ,y,x)=0,“借助于微分的积分法”39

4.15.(a)y=G(x,y );(b)x=G(y,y )39

4.17.(a)y=g(y );(b)x=g(y )40

4.16.(a)G(y ,x)=0;(b)G(y ,y)=040

4.18.克莱罗方程41

4.19.拉格朗日-达兰贝尔方程42

4.20.F(x,xy -y,y )=0. 勒让德变换42

第二章 已解出导数的任意微分方程组44

5.基本概念44

5.1.微分方程组的表示法和几何意义44

5.2.解的存在和唯一性44

5.3.卡拉西奥多里存在定理45

5.4.解对于初始条件和对于参数的依赖性46

5.5.稳定性问题47

6.解法50

6.1.折线法50

6.2.皮卡尔-林德略夫逐次逼近法50

6.3.幂级数的应用51

6.4.同偏微分方程的联系52

6.5.借助于解之间的已知关系简化方程组52

6.7.估值定理53

6.6.利用微分法和消元法简化方程组53

7.自治系统55

7.1.自治系统的定义和几何意义55

7.2.当n=2时，奇点邻域内积分曲线的性状57

7.3.确定奇点类型的准则59

第三章 线性微分方程组63

8.任意的线性微分方程组63

8.1.一般注记63

8.3.化非齐次方程组为齐次方程组64

8.2.存在和唯一性定理.解法64

8.4.估值定理65

9.齐次线性方程组66

9.1.解的性质.基本解组66

9.2.存在定理和解法67

9.3.把方程组简化为方程个数较少的方程组69

9.4.共轭微分方程组70

9.5.自共轭微分方程组71

9.6.共轭微分型组；拉格朗日恒等式；格林公式72

9.7.基本解73

10.1.奇点的分类74

10.具有奇点的齐次线性方程组74

10.2.弱奇点75

10.3.强奇点77

11.对于大的x值解的性状78

12.依赖于参数的线性方程组80

13.常系数线性方程组83

13.1.齐次方程组83

13.2.更一般形式的方程组83

14.已解出最高阶导数的方程：y(n)=f(x,y，y ,…, y(n-1))85

第四章 任意n阶微分方程85

15.未解出最高阶导数的方程：F(x,y,y ,…, y(n))=086

15.1.全微分方程86

15.2.广义齐次方程86

15.3.不显含x或y的方程87

第五章 n阶线性微分方程88

16.任意的n阶线性微分方程88

16.1.一般注记88

16.2.存在和唯一性定理.解法88

16.4.化非齐次微分方程为齐次微分方程90

16.3.n-1阶导数的消去法90

16.5.对于大的x值解的性状91

17.n阶齐次线性微分方程91

17.1.解的性质和存在定理91

17.2.微分方程的降阶法93

17.3.关于解的零点94

17.4.基本解94

17.5.共轭的、自共轭的和反自共轭的微分型95

17.6.拉格朗日恒等式；狄里克莱公式和格林公式97

17.7.关于共轭方程和全微分方程的解98

18.具有奇点的齐次线性微分方程99

18.1.奇点的分类99

18.2.点x=ζ是正则点或弱奇点的情况102

18.3.点x=∞是正则点或弱奇点的情况105

18.4.点x=ζ是强奇点的情况106

18.5.点x=∞是强奇点的情况107

18.6.具有多项式系数的微分方程108

18.7.具有周期系数的微分方程109

18.8.具有双周期系数的微分方程111

18.9.实变量的情况112

19.利用定积分解线性微分方程113

19.1.一般原理113

19.2.拉普拉斯变换117

19.3.特殊的拉普拉斯变换120

19.4.梅林变换122

19.5.欧拉变换123

19.6.利用二重积分求解126

20.1.多项式系数127

20.对于大的x值解的性状127

20.2.更一般形式的系数128

20.3.连续的系数129

20.4.振荡定理130

21.依赖于参数的n阶线性微分方程130

22.某些特殊类型的n阶线性微分方程134

22.1.常系数齐次微分方程134

22.2.常系数非齐次微分方程135

22.4.拉普拉斯方程137

22.3.欧拉方程137

22.5.具有多项式系数的方程138

22.6.波赫哈默尔方程139

第六章 二阶微分方程146

23.二阶非线性微分方程146

23.1.特殊类型的非线性方程的解法146

23.2.某些补充说明147

23.3.极限值定理148

23.4.振荡定理149

24.1.一般注记150

24.任意的二阶线性微分方程150

24.2.某些解法151

24.3.估值定理153

25.二阶齐次线性微分方程154

25.1.二阶线性微分方程的简化154

25.2.关于二阶线性方程简化的进一步说明156

25.3.把解展开为连分数159

25.4.关于解的零点的一般注记161

25.5.在有限区间上解的零点161

25.6.当x→∞时解的性状165

25.7.具有奇点的二阶线性微分方程167

25.8.近似解.渐近解(实变量时)170

25.9.渐近解(复变量时)174

25.10.WBK法175

第七章 三阶和四阶线性微分方程177

26.三阶线性微分方程177

27.四阶线性微分方程178

28.1.折线法179

28.一阶微分方程的近似积分179

第八章 微分方程的近似积分法179

28.2.补充半步法180

28.3.龙格-霍伊恩-库塔法181

28.4.插值法和逐次逼近法相结合183

28.5.阿达姆斯法185

28.6.对阿达姆斯法的补充188

29.高阶微分方程的近似积分190

29.1.一阶微分方程组的近似积分法190

29.2.对于二阶微分方程的折线法192

29.3.对于二阶微分方程的龙格-库塔法193

29.4.对于方程y″=f(x,y,y )的阿达姆斯-施特尔默尔法194

29.5.对于方程y″=f(x,y)的阿达姆斯-施特尔默尔法195

29.6.对于方程y″=f(x,y,y )的布里斯法196

第二部分 边值问题和特征值问题200

第一章 n阶线性微分方程的边值问题和特征值问题200

1.边值问题的一般理论200

1.1.表示法和初步注记200

1.2.边值问题的可解性条件202

1.3.共轭边值问题203

1.4.自共轭边值问题206

1.5.格林函数207

1.6.借助于格林函数解非齐次边值问题209

1.7.广义的格林函数210

2.方程？fr(x)y(v)+λg(x)y=f(x)的边值问题和特征值问题211

2.1.特征值和特征函数；特征行列式Δ(λ)213

2.2.共轭特征值问题和格林豫解式；完备双正交系215

2.3.标准化的边界条件；正则特征值问题217

2.4.正则和非正则特征值问题的特征值219

2.5.给定的函数按正则和非正则特征值问题的特征函数之展开220

2.6.标准的自共轭特征值问题222

2.7.关于弗雷德霍姆型积分方程226

2.8.边值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系232

2.9.特征值问题和弗雷德霍姆型积分方程之间的联系233

2.10.关于沃尔泰拉型积分方程235

2.11.边值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系236

2.12.特征值问题和沃尔泰拉型积分方程之间的联系237

2.13.特征值问题和变分法之间的联系239

2.14.按特征函数展开的应用242

2.15.几点补充说明243

3.特征值问题和边值问题的近似解法248

3.1.里兹-伽辽金近似方法248

3.2.格拉梅尔近似方法250

3.3.用里兹-伽辽金方法解非齐次边值问题251

3.4.逐次逼近法252

3.5.应用有限差分法近似求解边值问题和特征值问题254

3.6.扰动方法258

3.7.特征值的估值261

3.8.计算特征值和特征函数几种方法的综述265

4.对于方程F(y)=λG(y)的自共轭特征值问题267

4.1.问题的提法267

4.2.一般的初步注记269

4.3.标准的特征值问题270

4.4.正定的特征值问题271

4.5.按特征函数的展开275

5.更一般形式的边界条件和附加条件278

第二章 线性微分方程组的边值问题和特征值问题281

6.线性微分方程组的边值问题和特征值问题281

6.1.表示法和可解性条件281

6.2.共轭边值问题283

6.3.格林矩阵284

6.4.特征值问题285

6.5.自共轭特征值问题287

7.一阶问题290

7.1.线性问题290

第三章 低阶方程的边值问题和特征值问题290

7.2.非线性问题291

8.二阶线性边值问题292

8.1.一般注记292

8.2.格林函数293

8.3.第一类边值问题解的估值293

8.4.当？→∞时的边界条件294

8.5.求周期解294

8.6.一个同研究流体流动有关的边值问题295

9.二阶线性特征值问题296

9.1.一般注记296

9.2.自共轭特征值问题298

9.3.y =F(x,λ)z,z =-G(x,λ)y,边界条件是自共轭的303

9.4.特征值问题和变分原理306

9.5.特征值和特征函数的实际计算308

9.6.不一定是自共轭的特征值问题309

9.7.更一般形式的附加条件312

9.8.含有多个参数的特征值问题314

9.9.在边界点具有奇异性的微分方程315

9.10.无限区间上的特征值问题316

10.二阶非线性边值问题和特征值问题317

10.1.对于有限区间的边值问题317

10.2.对于半无限区间的边值问题321

10.3.特征值问题322

11.三阶至八阶边值问题和特征值问题324

11.1.三阶线性特征值问题324

11.2.四阶线性特征值问题325

11.3.两个二阶微分方程组成的方程组的线性问题328

11.4.四阶非线性边值问题329

11.5.更高阶的特征值问题330

第三部分 各种微分方程332

几点说明332

第一章 一阶微分方程339

1-367.对于y 的一次微分方程339

368-517.对于y 的二次微分方程430

518-544.对于y 的三次微分方程438

545-576.更一般形式的微分方程444

1-90.ay″+…453

第二章 二阶线性微分方程453

91-145.(ax+b)y″+…489

146-221.x2y″+…508

222-250.(x2±a2)y″+…531

251-303.(ax2+bx+c)y″+…546

304-341.(ax3+…)y″+…573

342-396.(ax4+…)y″+…585

397-410.(axn+…)y″+…；n≥5598

411-445.其他的微分方程607

第三章 三阶线性微分方程616

第四章 四阶线性微分方程635

第五章 五阶和更高阶的线性微分方程653

第六章 二阶非线性微分方程657

1-72.ay″=F(x,y,y )657

73-103.f(x)y″=F(x,y,y )679

104-187.f(x)yy″=F(x,y,y )691

188-225.f(x,y)y″=F(x,y,y′)711

226-249.其他的微分方程721

第七章 三阶和更高阶的非线性微分方程728

1-18.两个一阶常系数微分方程的方程组735

第八章 线性微分方程组735

19-25.两个一阶变系数微分方程的方程组741

26-43.两个高于一阶的微分方程的方程组743

44-57.多于两个微分方程的方程组748

第九章 非线性微分方程组753

1-17.两个微分方程的方程组753

18-29.多于两个微分方程的方程组759

二阶线性齐次方程的解法(J.兹伯尔尼克)763

附录763

对E.卡姆克一书的补充(D.米特里诺维奇)775

关于一个一阶微分方程(D.米特里诺维奇)792

线性微分方程可分解的情况(D.米特里诺维奇)793

关于微分方程yy″+f(x)y2=ψ(x)的积分法(T.列寇)795

线性微分方程的分类和利用递推公式构造其通解的新方法(J.兹伯尔尼克)798

参考文献中采用的缩写802

部分外国人姓氏中外文对照表813

题目索引815