《常微分方程论讲义》

前言页1

第一部份 含一个未知函数的一阶微分方程式1

第一章 一般概念1

1 定义 例题1

2 几何解释 问题的推广2

第二章 最简单的微分方程式7

3 形如？=f(x)的方程式7

4 形如？=f(y)的方程式9

5 可分离变数的微分方程11

6 齐次微分方程13

7 线性微分方程15

8 全微分方程16

9 积分因式19

第三章 通论23

10 尤拉(Euler)折线23

11 阿尔最拉(Arzela)定理25

12 用斐雅？(Peano)法证明微分方程(1)的解存在27

13 阿斯古德(Osgood)关于解的唯一性的定理32

14 关于尤拉折线的补充定理35

15 逐次逼近法36

16 压缩映像原理41

17 压缩映像原理的几何解释46

18 辜西(Cauchy)关于微分方程？=f(x,y)右端为正规函数时的定理47

19 微分方程的解的可微分的次数52

20 解封开始值的依赖性52

21 阿达马(Hadamard)预备定理56

22 关于解对参变数的依赖性的定理57

23 奇点60

24 奇曲线65

25 积分曲线族之形态的全局的讨论67

26 未按导数解出的微分方程70

27 包络线79

28 化任意的方程组为一阶的方程组82

第二部份 常微分方程组82

第四章 通论82

29 几何解释 定义83

30 基本定理的叙述86

31 关于运算方程组的压缩映像原理90

32 压缩映像原理对于微分方程组的应用94

第五章 线性微分方程组通论98

33 定义 自微分方程组的一般理论推出的推论98

34 一阶齐次组的基本定理100

35 刘微(Liouville)定理105

36 据已给定的基本解组造出形如(97)的齐次线性微分方程组106

37 对于n阶微分方程式之推论107

38 线性齐次微分方程式的降阶109

39 二阶齐次线性方程式的解的零点111

40 一阶非齐次线性方程组114

41 对于n阶非齐次线性方程式的推论116

42 预先应注意的事项117

第六章 常系数线性微分方程组117

43 关于化为典则形式的定理119

44 线性变换的不变式125

45 初等因子127

46 齐次方程组的基本解的求法130

47 对于n阶齐次方程式的应用134

48 非齐次方程组的特解求法136

49 化微分方程式？=？为典则形式139

50 李浦诺夫(ЛяпуноR)的解的稳定性141

51 一个物理学的例题146

附录 含一未知函数的一阶偏微分方程150

52 几平线性偏微分方程式150

53 常微分方程组的第一积分156

54 亚线性偏微分方程式160

55 非线性偏微分方程式162

56 法甫(Piaff)微分方程式171