《常微分方程 下》

第七章数值解法基础1

1 预备知识3

1.1 差分与差分方程3

1.2 插值公式及其余项9

1.3 积分公式及其误差估计14

1.4 牛顿迭代法17

2 单步法22

2.1 欧拉公式及其改进22

2.2 泰勒展开法24

2.3 龙格——库塔法与二阶公式27

2.4 高阶的龙格——库塔型公式30

2.5 隐式与半隐式的龙格——库塔型公式36

2.6 相容性与收敛性41

3 线性多步法47

3.1 方法的阶数与误差常数47

3.2 数值积分与插值技巧的应用50

3.3 相容性与收敛性55

3.4 特征多项式与零稳定60

3.5 关于算法的优化问题与分类63

4 数值稳定性与其他算法69

4.1 绝对稳定性70

4.2 相对稳定性73

4.3 稳定区间的确定77

4.4 方法的结合问题80

4.5 预估——校正法及其局部截断误差(米尔尼算法)83

4.6 关于预估——校正法的稳定性问题(哈明算法)88

4.7 多项式外推法及其应用96

第八章一般基础理论102

1 一般基础理论的研究概况102

2 预备知识和某些重要结果105

2.1 基本存在定理105

2.2 解的延展与饱和解108

2.3 比较定理与最大最小解的存在115

2.4 微分、积分不等式——基本引理122

3 解的存在唯一性定理134

3.1 李普希兹定理与比卡逐步逼近法135

3.2 柯西定理与优函数方法141

3.3 利用不动点原理证明解的存在性146

3.4 右端不连续系统解的存在唯一性149

4 解的整体存在和非整体存在问题156

4.1 预备知识157

4.2 解的整体存在性准则163

4.3 解的非整体存在性准则171

5 解的唯一性问题的进一步讨论178

6 解对初值和参数的各种相依性定理196

6.1 解对初值的连续性定理196

6.2 解对参数的连续性定理198

6.3 解对初值和参数的连续性定理200

6.4 解对初值和参数的可微性定理203

第九章定性、稳定性和最优控制理论212

一 一般定性理论212

1 奇点邻域中相轨线的性状216

1.1 一次奇点216

1.2 高次奇点·研究奇点邻域的富罗麦尔方法228

1.3 无穷远奇点254

2 相平面有界域中轨线的研究·极限环260

2.1 庞加来——班狄克生理论260

2.2 极限环(闭轨)的存在性267

2.3 奇点的庞加来指标281

2.4 极限环的重次与稳定性284

2.5 极限环的唯一性292

2.6 极限环的个数与相对位置、二次系统的极限环298

3 轨线的全局结构305

3.1 奇轨线的概念及其分类、鞍点分界线305

3.2 子域、子域内轨线的性状311

3.3 轨线全局结构的例子314

二 稳定性理论318

4 基本概念和定义318

4.1 稳定性概念318

4.2 v 函数的定义325

5 判别稳定性的基本定理和方法330

5.1 v 函数方法判别稳定性的基本定理331

5.2 按第一近似决定稳定性343

6 大系统的稳定性分析355

6.1 加权和 v 函数方法356

6.2 比较原理和向量 v 函数方法367

7 李雅普诺夫函数的存在与作法问题381

7.1 李雅普诺夫函数的存在问题(逆转问题)381

7.2 v 函数的某些作法和应用384

三 最优控制理论416

8 最优控制问题的一般数学描述416

8.1 控制问题的实例416

8.2 最优控制问题的一般数学描述424

9 求解最优控制问题的解析方法430

9.1 变分方法430

9.2 动态规划方法447

9.3 最小(大)值原理456

10 线性控制理论与最优调节问题475

10.1 线性系统的能控性与能观测性475

10.2 线性二次型的最优控制问题482

10.3 线性二次型的最优调节问题493

10.4 非线性控制系统的最优调节问题509

习题解答或提示521

参考文献及有关书目资料542