《常微分方程》

第一章 绪论1

1 微分方程，例题1

1.1. 微分方程1

1.2. 微分方程的分类2

1.3. 例题2

2 微分方程的解5

2.1. 微分方程的解5

2.2. 初值问题，通解5

3 方向场8

4 解的存在唯一性10

第二章 一阶微分方程14

1 变量分离方程，一阶线性方程14

1.1. 变量分离方程14

1.2. 一阶线性微分方程18

2 变量代换21

2.1. 齐次方程21

2.2. 贝努利方程24

2.3. 黎卡提方程25

2.4. 按方程形式启示作代换27

3 全微分方程，积分因子32

3.1. 全微分方程32

3.2. 观察法35

3.3. 积分因子39

4 一阶隐微分方程46

4.1.一阶n次微分方程46

4.2. 方程y=f(x,y＇)47

4.3. 方程x=g(y,y＇)51

4.4. 一般方程F(x,y,y＇)=052

4.5. 包络与奇解53

5 一阶微分方程的应用57

5.1. 等角轨线57

5.2. 力学问题举例60

第三章 高阶微分方程62

1 特殊高阶方程62

1.1. 方程y(n)=f(x)62

1.2. 可降阶方程63

2 变系数线性微分方程70

2.1. 解的存在唯一性定理71

2.2. 齐次方程解的可加性71

2.3. 函数组的线性相关性，朗斯基行列式72

2.4. 基本解组76

2.5. 通解77

2.6. 刘维尔定理79

2.7. 降阶法83

2.8. 常数变易法85

3 常系数线性微分方程89

3.1. 多项式算子89

3.2. 常系数线性齐次方程的通解91

3.3. 常系数线性非齐次方程的特解96

3.4. 拉普拉斯变换及其应用109

4 二阶变系数线性微分方程121

4.1. 二阶变系数线性方程的五个解法121

4.2. 幂级数解法131

4.3. 二阶线性齐次方程解的零点分布145

4.4. 二阶线性方程的边值问题150

第四章 微分方程组158

1 引言158

1.1. 微分方程组158

1.2. 解的存在唯一性定理，通解159

1.3. 线性微分方程组161

2 变系数线性微分方程组162

2.1. 解的可加性163

2.2. 线性相关性，朗斯基行列式164

2.3. 刘维尔定理165

2.4. 通解168

2.5. 常数变易法172

2.6. 降阶法175

3 常系数线性方程组179

3.1. 特征根法179

3.2. 矩阵指数法194

3.3. 常数变易法198

3.4. 拉普拉斯变换法200

3.5. 消元法202

3.6. 应用举例208

4 一般微分方程组，首次积分214

5 一阶偏微分方程221

5.1. 一阶线性齐次偏微分方程222

5.2. 一阶拟线性偏微分方程225

5.3. 一阶拟线性偏微分方程的柯西问题229

第五章 基本理论与定性理论初步234

1 基本理论234

1.1. 基本定理234

1.2. 解的延拓242

1.3. 解对初值的连续依赖性与可微性245

2 定性理论初步248

2.1. 自治系统，相平面248

2.2. 解的稳定性254

2.3. 初等奇点附近的轨线分布270

2.4. 极限环理论初步280

附录 向量级数与矩阵级数286

参考文献297