《常微分方程》求取 ⇩

第一章 绪论1

1.1 微分方程：物理过程的数学模型1

1.2 基本概念9

第二章 一阶微分方程的初等解法15

2.1 变量分离方程与变量变换15

2.1.1 变量分离方程15

2.1.2 可化为变量分离方程的类型18

2.1.3 应用举例23

2.2 线性方程与常数变易法28

2.3 恰当方程与积分因子34

2.3.1 恰当方程34

2.3.2 积分因子39

2.4 一阶隐方程与参数表示45

2.4.1 可以解出y(或x)的方程46

2.4.2 不显含y(或x)的方程50

本章学习要点53

第三章 一阶微分方程的解的存在定理59

3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法60

3.1.1 存在唯一性定理60

3.1.2 近似计算和误差估计70

3.2 解的延拓73

3.3 解对初值的连续性和可微性定理75

3.4 奇解82

3.4.1 包络和奇解82

3.4.2 克莱罗方程85

本章学习要点89

第四章 高阶微分方程90

4.1 线性微分方程的一般理论90

4.1.1 引言90

4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构91

4.1.3 非齐线性方程与常数变易法96

4.2.1 复值函数与复值解102

4.2 常系数线性方程的解法102

4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程105

4.2.3 非齐线性方程·比较系数法与拉普拉斯变换法113

4.2.4 质点振动123

4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法133

4.3.1 可降阶的一些方程类型134

4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法141

4.3.3 第二宇宙速度计算150

本章学习要点153

第五章 线性微分方程组155

5.1 存在唯一性定理155

5.1.1 记号和定义155

5.1.2 存在唯一性定理163

5.2 线性微分方程组的一般理论171

5.2.1 齐线性微分方程组171

5.2.2 非齐线性微分方程组179

5.3.1 矩阵指数expA的定义和性质188

5.3 常系数线性微分方程组188

5.3.2 基解矩阵的计算公式192

5.3.3 拉普拉斯变换的应用209

本章学习要点218

第六章 非线性微分方程和稳定性220

6.1 引言220

6.2 相平面228

6.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性241

6.4 李雅普诺夫第二方法247

6.5 周期解和极限圈258

6.6 二次型V函数的构造与控制系统的绝对稳定性267

本章学习要点281

附录Ⅰ 拉普拉斯变换282

附录Ⅱ 边值问题294

习题答案315