《常微分方程》求取 ⇩

第一章 一阶微分方程的初等积分法1

1.1 微分方程及其解1

1.1.1 什么叫做微分方程1

1.1.2 什么叫做微分方程的解7

1.1.3 微分方程解的实际意义11

1.1.4 微分方程解的几何意义16

1.2 可分离变量方程18

1.3 可化为可分离变量方程的方程23

1.3.1 齐次方程23

1.3.2 可化为齐次方程的方程29

1.4 线性方程33

1.4.1 一阶线性微分方程33

1.4.2 伯努利（Bernoulli）方程38

1.4.3 黎卡提（Riccati）方程40

1.5 恰当方程43

1.5.1 恰当方程43

1.5.2 积分因子50

1.6 一阶隐方程57

1.6.1 求解一阶隐方程的基本思想57

1.6.2 几种可求解的一阶隐方程60

本章要点70

第二章 一阶微分方程的基本理论74

2.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理75

2.1.1 已解出导数的一阶方程解的存在唯一性定理75

2.1.2 几点说明82

2.1.3 一阶隐方程解的存在唯一性定理88

2.2 解的延拓89

2.3 解对初值的连续性和可微性93

本章要点95

第三章 高阶微分方程96

3.1 高阶微分方程解的存在唯一性定理96

3.1.1 一般高阶方程解的存在唯一性定理96

3.1.2 高阶线性方程解的存在唯一性定理98

3.2 高阶齐线性方程解的结构98

3.2.1 n阶齐线性方程解的性质98

3.2.2 函数的线性相关与线性无关99

3.2.3 n阶齐线性方程解的结构103

3.3 高阶非齐线性方程解的结构及常数变易法109

3.3.1 非齐线性方程与齐线性方程解的关系109

3.3.2 高阶非齐线性方程解的结构110

3.3.3 由齐线性方程的通解求非齐线性方程的解——常数变易法111

3.4 高阶常系数齐线性方程的解法117

3.4.1 常系数齐线性方程的解法117

3.4.2 欧拉方程126

3.5 常系数高阶非齐线性方程一些特殊类型的解法130

3.5.1 f(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm121

3.5.2 f(x)=(b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm)eλx134

3.5.3 f(x)=[P(x)cosβx+Q(x)sinβx]eax138

3.6 几种可降阶的高阶方程144

3.6.1 不显含未知函数y的方程145

3.6.2 不显含自变量x的方程147

3.6.3 关于y,y′,…y（x）是齐次的方程149

3.6.4 利用已知解对齐线性方程进行降阶151

本章要点153

第四章 线性微分方程组155

4.1 基本概念155

4.1.1 引例155

4.1.2 基本概念156

4.1.3 高阶微分方程或方程组化为一阶微分方程组158

4.2 简单的方程组的一些解法163

4.2.1 消元法163

4.2.2 组合法164

4.2.3 对称法165

4.3 线性方程组解的结构理论167

4.3.1 关于一阶线性方程组解的存在唯一性167

4.3.2 齐线性方程组解的性质170

4.3.3 函数向量的线性相关与线性无关171

4.3.4 齐线性方程组的解空间及其维数174

4.3.5 非齐线性方程组解的结构178

4.3.6 由齐线性方程组的通解求非齐线性方程组的解——常数变易法180

4.4 常系数线性方程组的解法186

4.4.1 常系数齐线性方程组的解法186

4.4.2 常系数非齐线性方程组的解法197

本章要点202

第五章 常微分方程与中学数学204

5.1 奇解与包络204

5.1.1 奇解与包络的定义204

5.1.2 包络与奇解的求法207

5.2 克莱罗（Clairaut）方程与二次曲线及摆线213

5.2.1 克莱罗方程213

5.2.2 克莱罗方程与二次曲线215

5.2.3 克莱罗方程与摆线223

5.3 微分方程与一些函数方程226

5.4 微分方程与轨线问题232

5.4.1 轨线的定义232

5.4.2 轨线所满足的微分方程232

5.5 微分方程与自然数方幂和公式238

5.6 微分方程与极值曲线问题243

本章要点250

习题答案250

附录 常微分方程发展简介262