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目录1

预备知识1

1．霍尔得不等式1

2．明可夫斯基不等式5

第一章　距离空间9

§1　距离空间9

1．距离的概念9

2．距离空间举例11

§2　距离空间中的点集19

1．开球与闭球19

2．开集与闭集20

3．接触点·聚点·孤立点22

4．闭包·导集23

5．点集的距离23

§3 点列极限与连续映射24

1．点列极限24

2．收敛点列的意义27

3．连续映射30

§4　稠密性与可分性35

1．稠密性的概念35

2．可分性的概念38

1．完备距离空间的概念41

§5 完备性41

2．疏朗集与纲集45

§6　列紧性与紧性49

1．列紧性49

2．全有界性51

3．列紧性与全有界性的关系53

4．某些具体空间中列紧集的特征56

5．自列紧性与紧性60

6．紧集上连续泛函的性质63

§7　压缩映射原理67

1．线性空间74

第二章　赋范线性空间与巴拿赫空间74

§1　赋范线性空间74

2．赋范线性空间80

3．范数与距离的关系82

4．强收敛84

§2 巴拿赫空间87

1．巴拿赫空间的概念87

2．有限维赋范线性空间92

3．向量级数100

1．线性算子104

第三章　有界线性算子与算子空间104

§1　有界线性算子104

2．有界线性算子109

3．有界性与连续性113

4．算子的范数116

§2　算子空间126

1．线性算子空间126

2．有界线性算子空间129

3．共轭空间及其表示131

4．算子列的强收敛与一致收敛143

1．内积空间的概念147

第四章　内积空间与希尔伯特空间147

§1 内积空间147

2．内积空间的特征152

3．希尔伯特空间的概念156

§2　直交投影159

1．直交的概念159

2．投影定理161

3．投影算子166

§3　直交系171

1．直交系与标准直交系的概念171

2．线性无关序列的直交化173

3．向量的傅立叶级数展开式175

4．标准直交系的完全性182

§4 希尔伯特空间的同构性186

1．希尔伯特空间的同构性186

2．希尔伯特空间上有界线性泛函的表示188

第五章　赋范线性空间与巴拿赫空间的几个基本定理192

§1　汉恩-巴拿赫定理192

1．佐恩引理193

2．汉恩-巴拿赫定理194

3．汉恩-巴拿赫定理的若干推论201

1．二次共轭空间与嵌入算子208

§2　共轭算子208

2．共轭算子210

§3　开映射定理、闭图象定理、共鸣定理217

1．开映射定理217

2．闭图象定理222

3．共鸣定理225

§4 弱收敛与弱＊收敛232

1．弱收敛232

2．弱＊收敛236

附表：常见空间表243