《实变数函数论与泛函分析概要》

第一篇 实变数函数论1

第一章 集，直线上的点集1

1 集和集的运算1

2 映照，--对应和特征函数12

3 势的概念18

4 可列集和连续点集的势23

5 势的比较33

6 直积集，等价关系，半序集35

7 直线上的点集40

8 直线上的零集56

第二章 勒贝格积分61

1 C1类函数的勒贝格积分61

2 黎曼可积函数77

3 勒贝格可积函数类L83

4 勒贝格积分的极限定理91

5 无限区间上的勒贝格可积函数103

第三章 勒贝格可测集与可测函数113

1 可测函数及其初等性质113

2 可测集及其初等性质117

3 可测集的构造125

4 可测函数的构造，叶戈洛夫定理与鲁津定理135

5 可测集上的勒贝格积分144

6 度量收敛151

7 二重勒贝格积分及富比尼定理160

第四章 单调函数，勒贝格不定积分170

1 单调函数与单调的跳跃函数170

2 导数，单调函数的导数178

3 有界变差函数194

4 不定积分和全连续函数209

5 奇异函数和单调函数的分解220

6 黎曼-斯蒂阶积分223

7 勒贝格-斯蒂阶积分246

第二篇 泛函分析249

第五章 距离空间249

1 距离空间的基本概念249

2 线性空间259

3 线性赋范空间264

4 空间L?(E)267

5 内积空间277

6 距离空间中的点集283

7 稠密集294

8 完备性303

9 连续映照314

10 不动点原理318

11 距离空间的完备化328

12 实数理论336

第六章 有界线性泛函与有界线性算子343

1 有界线性算子的概念343

2 线性连续泛函的表示354

3 线性有界泛函的延拓364

4 C［a,b］上线性连续泛函的表示379

5 线性算子的正则集与谱，不变子空间386

6 致密集399

7 全连续算子419

8 逆算子定理430

9 共鸣定理及其应用433

10 弱收敛447

第七章 希尔伯特空间及其中的全连续算子455

1 直交分解455

2 线性连续泛函的表示，共轭空间459

3 共轭算子462

4 希尔伯特空间的直交系468

5 可析的希尔伯特空间476

6 希尔伯特空间上的全连续算子的特征值与特征向量483

7 弗列德荷蒙的理论492

8 含复参数μ的积分方程500

9 希尔伯特空间上自共轭全连续算子505

第八章 希尔伯特空间上算子谱分析519

1 投影算子519

2 双线性埃尔米特泛函与自共轭算子531

3 谱系的概念535

4 自共轭算子的谱分解545

5 正常算子与酉算子560

6 酉算子的谱分解573

7 无界自共轭算子的谱分解578

附录 巴拿赫空间上全连续算子的黎斯-啸德尔理论591

1 具有可列基的巴拿赫空间及其上的全连续算子591

2 巴拿赫空间上全连续算子的一些基本性质596

3 全连续算子的黎斯-啸德尔理论600

4 线性有界算子的谱分解603