《实变函数与泛函分析》

第一章集合1

1 集合·集合的运算1

2 映射·集合的对等8

3 可列集与不可列集·集合的基数13

4 可列集的判定17

5 连续势集的判定22

习题27

第二章点集31

1 RN 空间·区间·距离31

2 内点与开集34

3 聚点与闭集36

4 开集和闭集的构造39

5 点集间的距离·有界闭集的性质44

6 完备集·Cantor 集47

习题50

第三章测度53

1 引言53

2 Lebesgue 外测度59

3 有界 Lebesgue 可测集66

4 无界 Lebesgue 可测集74

5 不可测集的例81

6 集合的乘积·RP、Rq 与 Rp+q 中可测集间的关系84

7 Lebesgue-Stieltjes 测度87

8 抽象测度理论初步92

习题120

1 广义实函数及相关的集合124

第四章可测函数124

2 Lebesgue 可测函数的定义129

3 可测函数与简单函数131

4 可测函数的某些性质135

5 Егоров定理139

6 可测函数列的依测度收敛142

7 可测函数与连续函数147

习题155

第五章可测函数的积分160

1 Lebesgue 积分的定义及初等性质161

2 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系172

3 逐项积分定理178

4 Fubini 定理186

5 p 幂可积函数194

6 Lebesgue-Stieltjes 积分·抽象可测函数的积分198

习题202

第六章微分与 Lebesgue 不定积分·Riemann-Stieltjes 积分209

1 单调函数的微分性质209

2 有界变差函数220

3 绝对连续函数与 Lebesgue 不定积分227

4 Riemann-Stieltjes 积分237

习题246

第七章距离空间·赋范线性空间251

1 距离空间的定义及例251

2 赋范线性空间的定义及例255

3 距离空间中的若干概念·连续映射265

4 压缩映象原理及其应用269

5 距离空间的完备化275

6 可分距离空间281

7 距离空间中集合的列紧性283

8 关于赋范线性空间的若干概念293

9 无限维赋范线性空间的特征299

习题301

第八章线性算子307

1 线性算子的基本性质307

2 有界线性算子空间313

3 共鸣定理及其应用318

4 开映射定理与逆算子定理·闭图象定理325

习题329

1 线性泛函的基本性质332

第九章线性泛函332

2 有界线性泛函的延拓333

3 某些空间上有界线性泛函的表示340

4 共轭算子349

5 弱*收敛与弱收敛·自反空间351

6 凸集分离定理357

习题361

第十章全连续线性算子364

1 全连续算子的定义和性质364

2 全连续线性算子方程的 Riesz-Schauder 理论370

3 全连续线性算子的谱382

4 全连续线性算子的分解385

习题391

1 Hilbert 空间395

第十一章Hilbert 空间上的线性算子395

2 Riesz 表示定理410

3 自共轭算子的谱412

4 自共轭全连续算子的谱分解421

5 投影算子426

6 非负算子431

7 自共轭算子的谱分解436

8 双线性泛函451

9 保范算子459

10 正常算子467

习题471

第十二章抽象函数·Banach 代数476

1 抽象函数476

2 Banach 代数484

第十三章凸锥理论496

1 线性半群与锥496

2 正线性泛函504

3 正线性算子513

第十四章广义函数527

1 基本函数空间与广义函数528

2 广义函数的微分538

3 广义函数的卷积547

4 广义函数的 Fourier 变换556

5 广义微分方程564

习题569

参考书目571