《泛函分析》

第一章 线性空间和线性算子15

1.线性空间15

1.1 线性空间概念15

1.2 线性子空间.平面集.凸集17

1.3 线性无关集22

1.4 积空间和商空间25

2.线性算子26

2.1 线性算子概念26

2.2 线性算子空间28

2.3 代数基和线性算子29

2.4 线性泛函和超平面30

2.5 实线性泛函的延拓32

2.6 复线性泛函的延拓38

第二章 拓扑线性空间41

1.拓扑线性空间及其性质41

1.1 拓扑线性空间概念41

1.2 拓扑线性空间的性质43

1.3 赋拟范线性空间48

2.局部凸空间52

2.1 局部凸空间概念52

2.2 半范数族定义的拓扑52

2.3 局部凸空间上的半范数54

2.4 半范数定向集. 局部凸拓扑的比较56

2.5 线性连续泛函59

2.6 局部凸空间上的弱拓扑61

2.7 零邻域吸收空间62

2.8 局部凸空间上的归纳极限63

第三章 赋范线性空间67

1.赋范线性空间及其性质67

1.1 赋范线性空间概念67

1.2 有限维赋范空间70

1.3 赋范线性空间的有限积72

1.4 商赋范线性空间75

1.5 可分赋范线性空间76

2.Banach空间78

2.1 完备赋范线性空间78

2.2 赋范线性空间的完备化80

2.3 Banach空间中元的可和族82

2.4 一致凸Banach空间86

3.Banach空间的例89

3.1 数列空间89

3.2 有界数值函数空间90

3.3 可测函数类空间95

第四章 线性连续算子100

1.线性连续算子100

1.1 线性连续算子的一般概念100

1.2 线性连续算子空间105

1.3 点收敛和一致有界原理108

1.4 赋范空间间的可逆线性算子110

1.5 开映射111

1.6 闭算子114

1.7 Banach空间中的线性算子方程115

1.8 线性连续算子的不动点123

2.赋范线性空间的对偶124

2.1 赋范空间上的线性连续泛函124

2.2 某些具体空间上线性连续泛函的一般形式126

2.3 赋范空间的对偶和弱拓扑139

2.4 具体空间上的应用144

3.1 紧算子的定义和性质147

3.紧算子147

3.2 紧算子的例149

第五章 有序线性空间和正则算子152

1.有序线性空间152

1.1 有序线性空间的概念152

1.2 可格线性空间155

1.3 可格完备线性空间161

1.4 赋范可格空间162

2.1 加法算子和正算子164

2.正则算子164

2.2 正则算子及其性质166

2.3 赋范可格空间上的正则泛函167

2.4 空间C(T)上的正则泛函169

第六章 Hilbert空间和自伴算子171

1.Hilbert空间及其性质171

1.1 内积171

1.2 Hilbert空间概念172

1.3 直交性176

1.4 投影177

1.5 直交分解179

1.6 概率论中的Hilbert空间180

2.Hilbert空间中的直交基182

2.1 直交族182

2.2 直交基184

2.3 Hilbert维数186

2.4 Hilbert空间的表示188

2.5 空间L2(T)中的应用191

3.自伴算子194

3.1 Hilbert空间的共轭194

3.2 伴随算子196

3.3 自伴算子199

3.4 正自伴算子202

3.5 正规算子208

4.自伴算子的予解集和谱210

4.1 固有值和固有元210

4.2 予解式和谱212

4.3 算子方程216

5.自伴算子的积分表示217

5.1 自伴算子的谱族217

5.2 积分表示223

第七章 赋范代数226

1.代数226

1.1 定义和例226

1.2 具有单位元的代数228

1.3 理想229

2.赋范代数231

2.1 赋范代数概念231

2.2 代数LK(R)234

2.3 酉Banach代数中的可逆元236

2.4 商赋范代数240

3.Banach代数的表示241

3.1 Banach域241

3.2 特征空间242

3.3 代数Φ(？)243

3.4 Stone-Weierstrass定理246

3.5 一些Banach代数的表示250

第八章 广义函数255

1.广义函数的一般概念255

1.1 Schwartz空间255

1.2 广义函数概念258

1.3 在一个开集上等于零的广义函数261

1.4 具有紧支集的广义函数263

1.5 缓增广义函数264

2.广义函数的运算266

2.1 单变元广义函数的导数266

2.2 多变元广义函数的导数267

2.3 两个广义函数的直接积269

2.4 两个广义函数的卷积272

2.5 缓增广义函数的Fourier变换273

第九章 非线性算子276

1.非线性算子的不动点276

1.1 引导性概念276

1.2 Schauder-Тихонов不动点定理280

2.单调算子283

2.1 单调算子和强弱连续算子283

2.2 (b)型算子286

参考文献292