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引言1

集1

函数3

反函数4

关于实数的用法5

不等式5

Kroneckerδ6

第一章 处理线性问题的抽象方法7

1.0 导言7

1.1 抽象线性空间8

1.2 线性空间的例子14

1.3 线性算子18

1.4 有限维空间内的线性算子22

1.5 线性算子的其他例子27

1.6 线性泛函36

1.61 有限维空间内的线性泛函40

1.7 Zorn引理42

1.71 线性算子的扩张定理43

1.72 Hamel基47

1.8 线性算子的转置50

1.9 零化子52

1.91 值域和零流形56

1.92 结论58

第二章 拓扑61

2.0 本章内容61

2.1 拓扑空间61

2.11 相对拓扑65

2.12 连续函数66

2.2 紧集67

2.21 范畴·可分性69

2.3 分离公理·Hausdorff空间70

2.31 局部紧空间73

2.4 度量空间74

2.41 守备性81

2.5 乘积空间87

第三章 拓扑线性空间90

3.0 导言90

3.1 赋范线性空间91

3.11 赋范线性空间的例子96

3.12 有限维赋范线性空间105

3.13 Banach空间109

3.14 商空间116

3.2 内积空间119

3.21 Hilbert空间133

3.22 某些标准正交集的完全性136

3.3 拓扑线性空间138

3.4 凸集147

3.41 Minkowski泛函152

3.5 线性簇155

3.6 凸集和超平面159

3.7 拟范数162

3.8 局部凸空间165

3.81 线性空间的弱拓扑·对偶性172

3.9 度量线性空间175

第四章 线性算子的一般理论181

4.0 导言181

4.1 线性算子空间182

4.11 第二类积分方程·Neumann展开式187

4.12 ？2核191

4.13 微分方程和积分方程193

4.2 闭线性算子197

4.3 赋范线性空间的赋范共轭209

4.31 第二赋范共轭空间216

4.32 线性泛函的某些表示218

4.4 一致有界原理228

4.41 弱收敛237

4.42 向量值解析函数的应用239

4.5 有界线性算子的共轭243

4.51 有界线性算子的某些表示245

4.52 M.Riesz凸性定理252

4.6 零化子，值域，零流形256

4.61 赋范线性空间内的弱紧性260

4.62 共轭空间的饱和子空间264

4.7 关于连续逆的定理266

4.71 算子及其共轭的态269

4.8 射影274

4.81 Hilbert空间上的连续线性泛函278

4.82 正交补281

4.83 Dirichlet原理282

4.9 伴随算子285

5.0 导言289

第五章 线性算子的谱分析289

5.1 预解算子291

5.2 有界线性算子的谱297

5.3 谱分类302

5.4 可约性307

5.41 算子的升标与降标310

5.5 紧算子314

5.6 算子演算329

5.7 谱集与射影343

5.71 谱映射定理347

5.8 谱的孤立点351

5.9 具有有理预解式的算子361

第六章 Hilbert空间内的谱分析370

6.0 导言370

6.1 双线性型和二次型370

6.11 对称算子373

6.12 Schur的一个定理377

6.2 正规算子和自伴算子379

6.3 正交射影384

6.4 紧对称算子386

6.41 具有紧预解式的对称算子395

6.5 有界自伴算子的谱定理398

6.6 酉算子411

6.7 无界自伴算子417

第七章 积分与线性泛函421

7.0 概述421

7.1 空间L(μ)422

7.2 广义测度与复测度430

7.21 Radon--Nikodym定理433

7.3 实空间(Lp(μ)433

7.4 Lp上的连续线性泛函440

7.5 在局部紧Hausdorff空间内的测度444

7.41 复Lp空间444

7.51 广义的和复的Borel测度448

7.6 向量格450

7.7 在C∞(T)上的线性泛函452

7.8 有限可加集函数462

7.9 关于负荷的Lebesgue积分466

参考文献469

附录 Banach代数(第二版增加的内容)481

1.Banach代数的例子481

2.Banach代数的谱理论488

3.理想与同态496

4.变换Banach代数502

5.Gelfand理论的应用与推广516

6.B 一代数529

7.正规算子的谱定理535

参考文献552