《非线性泛函分析引论》

第一章预备知识1

1 度量空间1

1.1 度量空间的基本概念1

1.2 连通分支2

1.3 完备性2

1.4 紧性3

1.5 仿紧性与单位分解3

1.6 Banach空间4

1.7 Dugundji延拓定理5

2 有界线性算子的基本理论5

2.1 有界线性算子、有界线性泛函及共轭空间5

2.2 弱收敛与弱收敛6

2.3 Banach逆算子定理7

2.4 有界线性算子的正则集与谱7

2.5 全连续线性算子的Riesz—Schauder理论8

3 Sobolev空间9

3.1 H older连续函数空间9

3.2 Wk,p空间10

3.3 嵌入定理11

4 二阶椭圆型偏微分方程12

4.1 古典解与Schauder估计12

4.2 强解与Lp估计14

4.3 弱解15

第二章非线性映射的基本概念与基本定理18

1.1 连续性、有界性与泛函的极值19

1 非线性映射的连续性与有界性19

1.2 Caratheodory映射22

2 非线性映射的微分24

2.1 Gateaux微分与Frechet微分25

2.2 高阶导数与Taylor公式35

3 紧连续映射40

3.1 紧连续映射及其性质40

3.2 一些例子44

4 隐函数定理47

4.1 隐函数定理48

4.2 反函数定理及其推广52

4.3 Newton迭代程序54

5 Banach空间中常微分方程初值问题58

5.1 局部可解性59

5.2 一般的Gronwall引理61

5.3 解的存在极大区间62

第二章习题65

第三章拓扑度理论67

1 Brouwer度的定义68

1.1 Sard定理69

1.2 C2映射的Brouwer度71

1.3 Brouwer度的定义78

2 Brouwer度的基本性质81

2.1 Brouwer度的基本性质81

2.2 简化定理与乘积公式84

3 Brouwer不动点定理与Borsuk定理90

3.1 Brouwer不动点定理90

3.2 Borsuk定理及其应用91

4 Leray—Schauder度95

4.1 全连续场与紧同伦95

4.2 Leray—Schauder度的定义97

4.3 Leray—Schauder度的性质99

4.4 孤立零点的指数104

5 Leray—Schauder不动点定理与Borsuk定理的推广108

5.1 Leray—Schauder不动点定理108

5.2 Borsuk定理的推广111

5.3 一些例子112

第三章习题118

第四章半序Banach空间与算子方程的正解120

1 半序Banach空间120

1.1 锥与半序121

1.2 正泛函与共轭锥125

2 增映射与上、下解方法130

2.1 上、下解与单调迭代130

2.2 Krein—Rutman定理132

2.3 上、下解的存在性138

3 锥映射的拓扑度141

3.1 锥映射的拓扑度141

3.2 锥映射拓扑度的性质143

3.3 多重正解的存在性150

第四章习题153

第五章分歧理论155

1 分歧的定义与例子156

2 Lyapunov—Schmidt过程160

3.1 奇重特征值点的分歧166

3 奇重特征值点的分歧与渐近歧点166

3.2 渐近歧点171

4 大范围分歧定理173

4.1 Rabinowitz大范围分歧定理174

4.2 正解的大范围分歧定理179

第五章习题182

第六章变分原理185

1 极值问题185

1.1 极值的必要条件186

1.2 Ekeland变分原理189

2 形变引理193

2.1 伪梯度向量场与f的下降流线195

2.2 (P.S.)条件197

2.3 形变引理200

3 极小极大原理及其在半线性椭圆型方程中的应用204

3.1 极小极大原理204

3.2 在椭圆型边值问题中的应用210

4 Z2指标理论215

4.1 Z2指标215

4.2 Z2伪指标221

5 非线性特征值问题与局部分歧226

5.1 非线性特征值问题226

5.2 在局部分歧问题中的应用228

第六章习题234

参考文献237

索引245