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第一部分 预备知识3

第一章 背景材料3

1．1 非线性问题的产生3

1．1A 微分几何提出的问题3

1．1B 数学物理提出的问题10

Ⅰ 经典数学物理10

Ⅱ 现代数学物理14

1．1C 变分学提出的问题17

1．2 遇到的典型困难18

1．2A 内在的困难19

1．2B 非内在的困难22

1．3 泛函分析的结论26

1．3A Banach空间和Hilbert空间26

1．3B 一些常用的Banach空间28

1．3C 有界线性泛函与函收敛32

1．3D 紧性33

1．3E 有界线性算子35

1．3F 某些特殊类型的有界线性算子38

1．4 不等式和估计43

1．4A 空间W1，p（Q）（1≤p＜∞）44

1．4B 空间Wm，p（RN）和Wm,p（Q）48

1．4C 线性椭圆型微分算子的估计49

1．5 微分方程组的古典解和广义解51

1．5A Wm,p中的弱解52

1．5B 半线性椭圆型方程组弱解的正则性53

1．6 有限维空间间的映射56

1．6A Euclid空间间的映射56

1．6B 同伦不变性59

1．6C 同调和上同调不变量62

注记65

第二章 非线性算子70

2．1 微积分初步70

2．1A 有界性和连续性70

2．1B 积分71

2．1D 多重线性算子74

2．1C 微分76

2．1E 高阶导数77

2．2 具体的非线性算子84

2．2A 复合算子84

2．2B 微分算子86

2．2C 积分算子88

2．2D 微分算子的表达式89

2．3 解析算子93

2．3A 等价定义93

2．3B 基本性质98

2．4A 等价定义99

2．4 紧算子99

2．4B 基本性质101

2．4C 紧微分算子103

2．5 梯度映射105

2．5A 等价定义105

2．5B 基本性质107

2．5C 特殊的梯度映射109

2．6 非线性Fredholm算子111

2．6A 等价定义111

2．6B 基本性质113

2．6C Fredholm微分算子113

2．7A 等价定义114

2．7 正常映射114

2．7B 基本性质116

2．7C 作为正常映射的微分算子118

注记120

第二部分 局部分析125

第三章 单个映射的局部分析125

3．1 逐次逼近法125

3．1A 压缩映射原理125

3．2B 反函数定理和隐函数定理127

3．1C Newton法131

3．1D 局部满射性的判别法134

3．1E 对常微分方程的应用135

3．1F 对等周问题的应用139

3．1G 对映射奇异性的应用143

3．2 梯度映射的最速下降法146

3．2A 对局部极小的连续下降法147

3．2B 等周变分问题的最速下降法148

3．2C 一般临界点的结果150

3．2D 一般光滑映射的最速下降法153

3．3 解析算子和强级数法154

3．3A 一些启发154

3．3B 一个解析隐函数定理155

3．3C 复解析Fredholm算子的局部性质157

3．4A 一些启发158

3．4 广义反函数定理158

3．4B J.Moser的一个结果160

3．4C 光滑算子163

3．4D 局部共轭问题的反函数定理165

注记168

第四章 参数相依扰动现象174

4．1 分歧理论——一个构造性方法174

4．1A 定义和基本问题175

4．1B 化成有限维问题179

4．1C 单重的情形181

4．1D 一个收敛的叠代格式185

4．1E 多重的情形189

4．2A 一些启发192

4．2 分歧理论中的超越方法192

4．2B 分歧理论中的Brouwer度193

4．2C 临界点理论初步197

4．2D 分歧理论中的Morse型数201

4．3 具体的分歧现象204

4．3A 约束三体问题中平衡位置附近的周期运动204

4．3B 非线性弹性中的屈曲现象208

4．3C Navier-Stokes方程的第二稳态流216

4．3D 紧复流形上复结构的分歧问题222

4．4B 形式渐近展开的合法性226

4．4 渐近展开和奇异扰动227

4．4A 一些启发229

4．4C 对半线性Dirichlet问题（Hs）的应用236

4．5 古典数学物理中的某些奇异扰动问题243

4．5A 瞬时力作用下非谐振荡的扰动243

4．5B 非线性弹性理论中的薄膜逼近244

4．5C 粘性流体中受扰动的Jeffrey-Hamel流247

注记251

第三部分 大范围分析259

第五章 一般非线性算子的全局性理论259

5．1 线性化方法259

5．1A 整体同胚260

5．2B 具奇异值的映射269

5．2 有穷维逼近276

5．2A Galerkin逼近276

5．2B 对拟线性椭圆型方程的应用280

5．2C 取消强制性条件282

5．2D 梯度算子的Rayleigh-Ritz逼近285

5．2E Navier-Stokes方程的稳态解287

5．3 同伦，映射度及其推广290

5．3A 一些启发290

5．3B 连续映射的紧扰动292

5．3C 恒等算子的紧扰动和Leray-Schauder度294

5．3D 线性Fredholm映射的紧扰动和稳定同伦305

5．3E 零指标C2正常Fredholm算子的广义度313

5．4 同伦和非线性算子的映射性质317

5．4A 满射性317

5．4B 单叶性和同胚性质319

5．4C 不动点定理321

5．4D 谱性质和非线性特征值问题324

5．4E 可解性的充要条件及其推论330

5．4F 保锥算子的性质334

5．5 对非线性边值问题的应用336

5．5A 拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题337

5．5B △u+f（x,u）=0的Dirichlet问题的正解339

5．5C 周期水波340

5．5D 自治系统周期运动的连续性346

5．5E 强制半线性椭圆型边值问题有解的必要且充分条件349

注记351

第六章 梯度映射的临界点理论356

6．1 极小化问题356

6．1A 达到下确界357

6．1B 一个例子362

6．1C 和拟线性椭圆型方程有关的极小化问题364

6．2 几何学和物理学中某些极小化问题373

6．2A 常值负Hermite曲率的Hermite度量373

6．2B 非线性弹性理论中的稳定平衡状态379

6．2C Plateau问题382

6．2D Euclid量子场论中的动力学不稳定性385

6．3 等周问题387

6．3A 梯度映射的非线性特征值问题388

6．3B 半线性梯度算子方程的可解性396

6．4 几何学和物理学中的等周问题403

6．4A 非线性Hamilton方程的大振幅周期解族403

6．4B 具零Euler-Poincaré特征的紧2维流形的Riemann结构，该结构有指定的Gauss曲率408

6．4C 具指定纯量曲率的Riemann流形411

6．4D S2上指定Gauss曲率的保角度量414

6．4E 一个全局性自由边界问题——理想流体中的持久稳态旋涡环416

6．5A 最速下降法的改进423

6．5 Hilbert空间中的M.Morse临界点理论423

6．5B 退化和非退化临界点425

6．5C Morse型数428

6．5D Morse不等式433

6．5E 说明435

6．6 Ljuysternik-Schnirelmann临界点理论439

6．6A 一些启发439

6．6B 极小极大原则440

6．6C Ljusternik-Schniretmann畴数444

6．6D 对非线性特征值问题的应用446

6．7A 对梯度映射分歧理论的应用451

6．7 一般临界点理论的应用451

6．7B 和梯度映射有关的算子方程的多重解455

6．7C 柔软弹性板的整体平衡状态457

6．7D 某些非线性波方程的驻状态462

6．7E 紧Riemann流形上两点间的短程线465

注记467

附录A 微分流形471

附录B 微分形式的Hodge-Kodaira分解476

参考文献479

参考文献（补充）489

内容索引496

译后记503