《线性泛函分析入门》

第一章　距离线性空间1

引言1

1　距离空间的基本属性3

1.1　距离的概念3

1.2　收敛4

1.3　开集与闭集7

1.4　连续映象11

1.5　列紧性13

2　赋距离的线性空间14

2.1　赋距离的线性空间的定义和例14

2.2　赋不变距离的线性空间19

2.3　赋范线性空间23

2.4　（B0）型空间24

2.5　不同准范数所定义的收敛的比较30

3　连续线性泛函数32

3.1　非零连续拟范数的存在34

3.2　线性泛函数的延拓定理37

3.3　没有连续线性泛函数的（F）型空间41

3.4　（B0）型空间上的连续线性泛函数42

3.5　（B＊）型空间上的连续线性泛函数44

4　对偶空间48

4.1　对偶空间的概念及其属性48

4.2　对偶空间举例50

第二章　线性算子的一般理论60

引言60

1　（F＊）型空间中的连续线性算子66

2　开映象定理73

3　闭图象定理78

4　共鸣定理79

5　弱收敛和弱＊收敛85

第三章　关于正规能解算子的一般理论89

引言89

1　正规能解线性算子的一些基本属性90

2　正规能解算子与商空间97

3　正规能解性与能正则化110

4　Fredholm算子113

参考目录124

第四章　内积空间125

1　直交性与直交基125

1.1　内积空间的概念125

1.2　直交分解130

1.3　一集合张成的闭线性子空间134

1.4　Gram行列式134

1.5　直交基139

2.1　L2（0，2π）中三角函数141

2　一些特殊Hilbert空间的直交基141

2.2　L2（0，1）中的Haar函数组与Walsh函数组143

2.3　L2（-∞，∞；e-t2）中的直交基：Hermite多项式148

2.4　 L2（［-1，1］；？）中的直交基：Чебышев多项式150

3　Hilbert空间的一些简单属性151

3.1　可分Hilbert空间的表现152

3.2　Hilbert空间的自对偶性153

4　保范算子．Fourier变换158

5　Sobolev空间164

5.1　空间Hm（Ω）164

5.2　H-s（Ω）（s＞0整数）中元的刻划167

5.3　嵌入定理168

5.4　广义解171

第五章　凸集理论175

引言175

1　凸集的基本性质176

2　分离定理及其应用181

3　凸函数188

4　凸锥与对偶锥199

5　端点与端点表现210

5.1端点210

5.2 Крейн-Милъман定理212

5.3 Choquet定理215

参考目录220

附录一　拓扑矢量空间221

1　拓扑空间：邻域、开集与连续映象221

2　紧集．Тихонов定理226

3　拓扑矢量空间230

附录二　空间完备化与积分理论235

引言235

1　赋范线性空间的完备化238

2　积分概念241

2.1　简单函数241

2.2　？P中的元能看作是Ω上的函数247

2.3　Φ1的完备化L1249

2.4　两个辅助定理252

2.5　映象？的一对一性的证明256

2.6　例258

3　空间L1的进一步研究262

3.1　线性空间？1262

3.2　L1的完备性263

3.3　由L1中收敛蕴涵一个子列的殆遍收敛263

3.4　控制收敛定理268

4　ΦP的完备化与（B）空间LP269