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前言1

第一章 度量空间3

1.1度量空间4

1.2三个重要不等式及较复杂的例题11

1.3开集、闭集、邻域19

1.4收敛、柯西(Cauchy)序列、完备性27

1.5例题(完备性的证明)33

1.6度量空间的完备化42

第二章 赋范空间、巴拿赫(Banach)空间50

2.1向量空间51

2.2赋范空间、Banach空间58

2.3赋范空间的另一些性质65

2.4有穷维赋范空间及其子空间72

2.5紧性及有穷维数76

2.6线性算子81

2.7有界线性算子90

2.8有界线性泛函与对偶空间103

第三章 内积空间、希耳伯特(Hilbert)空间117

3.1内积空间、Hilbert空间118

3.2直交与直交分解127

3.3直交集和直交序列136

3.4完全标准直交集和序列146

3.5Hilbert空间上泛函的表示155

3.6Hilbert伴随算子161

3.7自伴算子、酉算子、正规算子166

第四章 赋范和Banach空间的基本定理173

4.1Zorn引理174

4.2哈恩-巴拿赫(Hahn-Banach)定理177

4.3复向量空间和赋范空间的Hahn-Banach定理183

4.4伴随算子190

4.5自反空间197

4.6范畴定理、一致有界性定理204

4.7强收敛与弱收敛215

4.8算子序列和泛函序列的收敛221

4.9序列可和性的应用227

4.10数值积分和弱收敛233

4.11开映象定理242

4.12闭线性算子、闭图象定理248

第五章 Banach不动点定理、逼近理论255

5.1Banach不动点定理256

5.2Banach不动点定理的应用263

5.3赋范空间中的逼近277

5.4一致逼近285

5.5Hilbert空间中的逼近297

5.6样条逼近301

第六章 赋范空间线性算子的谱论307

6.1有限维赋范空间的谱论307

6.2基本概念312

6.3有界线性算子谱的性质317

6.4预解式与谱的其他性质321

6.5Banach代数327

6.6Banch代数的进一步性质331

第七章 赋范空间上的紧线性算子及其谱336

7.1赋范空间上紧线性算子336

7.2紧线性算子的进一步性质343

7.3赋范空间上紧线性算子谱的性质351

7.4紧线性算子谱的进一步性质360

7.5紧线性算子的算子方程368

7.6Fredholm型的基他定理375

7.7Fredholm择一性384

附录393

Ⅰ：复习与参考资料393

Ⅱ：习题答案408

参考书目544