《常微分方程 第2版》

第一章 一阶常微分方程1

1 基本概念1

1. 引论1

2. 微分方程和它的解的定义3

3. 微分方程的几何解释--方向场6

4. 初始值问题的解的存在性和唯一性定理8

2 简单的一阶方程的求解方法12

1. 变量可分离的方程12

2. 齐次方程19

3. 线性方程，常数变易法22

4. 贝努里方程25

5. 黎卡提方程26

6. 全微分方程28

7. 积分因子32

3 解的存在性和唯一性定理39

1. 初始值问题的解的存在性和唯一性定理的证明40

2. 解的延展49

4 导数未解出的一阶微分方程55

1. 引论55

2. 奇解和包络58

3. 关于x或t已解出的一阶微分方程x=f(t,x)或t=f(x,x)61

4. 克来洛方程64

5. 正交轨线67

1 引论71

第二章 常微分方程组71

2 高阶微分方程的降阶77

1. 不显含未知函数x的方程77

2. 不显含自变量t的方程78

3. 齐次方程83

4. 全微分方程和积分因子85

3 首次积分88

4 自治系统的相轨线的一般性质100

1. 自治系统100

2. 一阶自治方程105

1. 复值函数112

1 引论112

第三章 线性常微分方程组112

2. 向量和矩阵115

3. 标准的一阶线性微分方程组的向量形式117

2 齐次线性微分方程组119

1. 简单性质120

2. 基本解组120

3. 刘维尔公式122

4. 高阶线性方程125

3 常系数线性微分方程组131

1. 高阶常系数线性微分方程的解法131

2. 常系数线性微分方程组的解法139

3. 常系数线性微分方程组的解的一些性质146

4. 高阶常系数线性微分方程的解法(续)149

5. 欧拉方程150

4 非齐次线性微分方程组154

1. 简单性质155

2. 常数变易法156

3. 高阶线性方程的常数变易法161

4. 具有特殊类型自由项的常系数线性微分方程组的解法163

5. 频率特性法(复数振幅法)165

5 周期系数的线性微分方程172

6 变系数的二阶线性微分方程的幂级数解法181

1. 二阶线性系统的奇点的分类194

7 二阶线性系统的奇点194

2. 关于非线性系统的裴戎定理208

第四章 稳定性211

1 引论211

2 解对参数和初始值的连续性定理212

1. 解对参数的连续性定理213

2. 解对初始值的连续性定理217

3 解对参数和初始值的可微性定理221

1. 解对参数的可微性定理221

2. 解对初始值的可微性定理226

4 解的稳定性的定义229

5 李雅普诺夫的直接方法237

1. 预备知识238

2. 李雅普诺夫直接方法的基本定理242

6 常系数线性微分方程组的解的稳定性252

7 一次近似的理论259

8 极限圈267

1. 极限圈附近轨线的性质267

2. 极限圈存在的判定法275

第五章 一阶偏微分方程282

1 引论282

2 拟线性一阶偏微分方程288

1. 拟线性一阶偏微分方程所定义的方向场和它的特征方程288

2. 等价性定理289

3. 柯西问题291

3 全积分、通积分和奇积分297

1. 曲面族的包络297

2. 全积分、通积分和奇积分302

3. 求全积分的例304

4 相容方程组，求全积分的拉格朗日-夏比方法307

1. 相容方程组307

2. 法甫方程313

3. 求全积分的拉格朗日-夏比方法314

5 哈密顿--雅可比理论320

1. n个自变量的一阶偏微分方程320

2. 正则方程组321

3. 两体问题325