《复变函数论 第2册》

第九章留数计算1

9—1留数1

9—1·1 定义1

9—1·2 留数定理2

9—1·3 在极点处的留数3

9—1·4 一个极限7

习题一7

9—2求积分8

9—2·1 有理函数的无穷积分8

9—2·2 有理函数与三角函数乘积的无穷积分13

9—2·3 三角函数的定积分24

9—2·4 幂函数与有理函数乘积的广义积分26

9—2·5 定积分的复变数变换37

9—2·6 杂例40

习题二62

9—3解析函数零点的个数65

9—3·1 一般公式65

9—3·2 几种特殊情况66

9—3·3 解析函数和的零点个数72

9—3·4 极限函数的零点个数73

习题三77

9—4反函数77

9—4·1 严格上升或下降的函数77

9—4·2 解析函数80

9—4·3 幂级数的反演83

习题四90

9—5求级数的和92

9—5·1 项为 n 的有理函数92

9—5·2 调和级数100

习题五105

9—6整函数的无穷积表示105

9—6·1 无零点的整函数105

9—6·2 构造具有指定零点的整函数107

9—6·3 三角函数的无穷积表示112

习题六116

9—7逊纯函数的展开式117

9—7·1 性质117

9—7·2 部分分式展开式118

9—7·3 哥西方法121

9—7·4 表示为余切函数的和129

习题七133

本章要点134

复习题九138

第十章模、实部及虚部140

10—1调和函数140

10—1·1 定义140

10—1·2 与解析函数的关系140

10—1·3 性质149

10—1·4 积分公式152

10—1·5 波阿松型积分157

习题一163

10—2阶层曲线164

10—2·1 隐函数164

10—2·2 定义与性质167

10—2·3 与零点的关系168

10—2·4 纽线173

习题二182

10—3函数的模与零点的模182

10—3·1 圆域182

10—3·2 推广公式194

10—3·3 半圆域197

习题三205

10—4模的性质205

10—4·1 凸函数205

10—4·2 最大模208

10—4·3 模的平均值214

习题四221

10—5实部的最大值221

10—5·1 单调上升性221

10—5·2 与最大模的关系222

10—5·3 导数的最大模227

习题五229

10—6极大模原则的推广229

10—6·1 有界域229

10—6·2 角形域231

10—6·3 极限235

10—6·4 带形域242

习题六244

本章要点245

复习题十248

第十一章保角变换249

11—1几何性质249

11—1·1 保存开域原则249

11—1·2 保角250

11—1·3 共形251

11—1·4 角的扩大252

习题一253

11—2线性变换253

11—2·1 双线性253

11—2·2 三个条件255

11—2·3 交比257

11—2·4 圆与对称点257

11—2·5 变圆为圆259

11—2·6 变半平面为圆域260

11—2·7 变圆域为圆域263

习题二266

11—3初等函数变换268

11—3·1幂函数变换268

11—3·2 变换 w=1/2（z+1/z）272

11—3·3 指数函数变换282

11—3·4 三角函数变换284

习题三289

11—4单叶函数289

11—4·1 定义289

11—4·2 性质291

11—4·3 充分条件295

11—4·4 变半平面为多边形域299

习题四308

11—5黎曼定理308

11—5·1 叙述308

11—5·2 凝聚原理309

11—5·3 证明315

11—5·4 另一形式320

习题五321

11—6系数估计322

11—6·1 面积定理322

11—6·2 模的估计332

11—6·3 特殊单叶函数340

习题六357

11—7平面流动358

11—7·1 势函数358

11—7·2 绕柱体流动363

习题七370

本章要点370

复习题十一374

第十二章收敛圆377

12—1奇点与解析点377

12—1·1 极点377

12—1·2 奇点的位置378

12—1·3 解析点384

12—1·4 过度收敛391

习题一399

12—2渐近性质400

12—2·1 函数400

12—2·2 系数404

12—2·3 函数的极限存在416

习题二428

12—3部分和429

12—3·1 积分表示429

12—3·2 有界性433

12—3·3 零点439

习题三445

本章要点446

复习题十二448