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第一章 复数和复变函数1

1.1 复数概念1

1 复数及其被认识的历史梗概2

2 复数的算术运算3

1.2 复数的几何表示3

1 复数平面3

2 复数的极坐标形式4

3 De Moivre公式和复数的n次方根6

1.3 扩充的复数平面8

习题(1.1)10

1.4 平面点集11

1 某些平面点集合与定理11

2 区域12

1.5 复变函数15

1 函数概念15

2 极限概念18

3 连续性18

习题(1.2)22

学习指导23

2.1 复变函数的微商和解析函数概念49

1 微商和微分49

第二章 微商与解析函数49

2 解析函数概念52

3 C.-R.条件(方程)53

4 解析函数的性质56

5 单叶解析函数及其反函数59

2.2 解析函数与调和函数的关系60

1 调和函数概念60

2 解析函数与调和函数间的关系60

习题(2.1)62

2.3 某些初等函数的解析性63

1 初等代数函数64

2 幂函数和根式函数65

3 指数函数和对数函数68

4 三角函数和反三角函数71

5 双曲线函数和反双曲线函数75

6 一般的幂函数和一般的指数函数76

7 关于初等超越函数的定义80

2.4 用多项式逼近函数82

1 “偏差”和一致收敛82

2 用多项式逼近函数82

习题(2.2)84

学习指导85

1 复变函数积分的定义106

3.1 复变函数积分的概念106

第三章 复变函数的积分106

2 复变函数积分的基本性质109

3 复变函数积分的计算110

习题(3.1)115

3.2 Cauchy积分定理及其推广116

1 Cauchy积分定理及其证明116

2 Cauchy积分定理的推广125

3 Cauchy积分定理推广到复连通区域125

习题(3.2)129

1 积分上限函数的解析性130

3.3 不定积分130

2 不定积分132

3 Newton-Leibniz公式133

3.4 Cauchy积分公式134

1 Cauchy积分公式134

2 算术平均值定理137

习题(3.3)137

3.5 解析函数的无穷可微性138

1 解析函数的无穷可微性及其证明138

2 Cauchy不等式143

4 代数基本定理及其证明144

3 Liouville定理144

5 Morera(莫瑞拉)定理145

6 可以用多项式逼近的函数的解析性146

3.6 解析函数的最大模原理、Poisson积分147

1 最大模原理147

2 Poisson积分公式149

习题(3.4)150

学习指导154

第四章 解析函数的级数展开式181

4.1 复数项级数181

1 复数项级数181

2 复数项级数的性质182

4.2 函数项级数184

1 函数项级数概念184

2 函数项级数的性质187

3 Weierstrass定理191

习题(4.1)195

4.3 幂级数197

1 幂级数概念197

2 幂级数的收敛性197

3 幂级数的收敛半径200

4 和函数的解析性200

1 Taylor(泰劳)定理201

4.4 解析函数的幂级数展开式201

习题(4.2)211

4.5 解析函数零点的孤立性、唯一性定理212

1 解析函数零点的孤立性212

2 唯一性定理215

4.6 Laurent级数217

1 Laurent级数217

2 Laurent级数的收敛域及其和函数的解析性218

习题(4.3)220

4.7 解析函数的Laurent展开式221

1 Laurent定理221

2 解析函数展开成Laurent级数的方法225

4.8 解析函数在孤立奇点邻域的性质230

1 解析函数在其有限孤立奇点邻域的性质230

2 解析函数在其无穷远点邻域的性质236

习题(4.4)237

学习指导239

第五章 留数理论及其应用286

5.1 留数概念286

1 关于有限远点的留数及其计算286

2 关于无穷远点的留数及其计算291

3 留数基本定理292

习题(5.1)295

5.2 用留数计算复变函数沿闭路的积分296

5.3 围道积分298

习题(5.2)312

5.4 辐角原理、Rouché定理及其应用314

1 对数留数314

2 辐角原理316

3 Rouché定理及其应用318

习题(5.3)321

学习指导324

1 导数的模及其辐角几何意义372

6.1 共形映射概念372

第六章 共形映射372

2 共形映射的概念375

6.2 解析函数的映射性质376

1 解析函数的保域性376

2 单叶解析函数的共形性378

3 单叶解析函数的反函数及其解析性379

6.3 Riemann存在定理及边界对应定理381

1 共形映射的基本问题381

2 Riemann存在定理381

3 边界对应定理382

1 分式线性映射384

6.4 分式线性映射384

2 分式线性映射的共形性386

3 分式线性映射的保圆性388

4 对称点的不变性389

5 交比不变性391

6 分式线性函数的确定392

6.5 分式线性映射的应用394

习题(6.1)398

6.6 某些初等函数所构成的映射400

1 幂函数与根式函数的共形映射400

2 指数函数与对数函数的共形映射402

3 Жуковский(儒苛夫斯基)函数的映射404

4 机翼剖面的外部到圆外部的共形映射408

习题(6.2)412

6.7 共形映射问题举例414

习题(6.3)419

学习指导421

第七章 解析开拓473

7.1 解析开拓的一般概念473

1 解析开拓原理473

2 完全解析函数478

7.2 解析开拓的一般方法--幂级数法480

1 对称原理的特殊情况485

7.3 Schwarz对称原理485

2 对称原理应用举例486

习题(7.1)488

学习指导488

第八章 初等多值函数与黎曼曲面497

8.1 初等多值函数概念497

1 单值枝与单叶性区域497

2 分枝、枝点与枝割线499

3 函数W=？的枝点的判定503

2 多值函数与黎曼曲面505

1 黎曼曲面概念505

8.2 黎曼曲面505

习题(8.1)509

学习指导509

第九章 复变函数论在流体力学上的应用522

9.1 不可压缩、无源、无旋、稳定的平面流动522

9.2 解析函数在流体力学上的意义523

9.3 关于飞机翼升力的计算528

9.4 圆域上的Dirichlet问题530

习题(9.1)533

学习指导534