《复变函数论》

编者的话1

第一章 复数与复变函数1

1 复数1

1-1-1 复数运算1

1-1-2 几何表示4

1-1-3 复球面8

习题10

2 平面点集13

1-2-1 开集与闭集13

1-2-2 连通集16

1-2-3 紧集18

1-2-4 距离空间20

习题21

3 连续函数22

1-3-1 函数、极限、连续22

1-3-2 连续函数与连续映照23

习题26

4 全纯函数27

1-4-1 导数27

1-4-2 Cauchy-Riemann方程28

1-4-3 全纯函数30

习题32

第二章 解析函数33

1 解析函数33

2-1-1 级数的基本性质33

2-1-2 幂级数36

2-1-3 解析函数40

2-1-4 解析函数的恒等定理42

习题44

2-2-1 指数函数45

2 初等函数45

2-2-2 三角函数47

2-2-3 对数函数48

2-2-4 一般幂函数55

习题59

第三章 初等共形映照62

1 共形映照62

3-1-1 导数的几何解释62

3-1-2 共形映照概念65

习题65

3-2-1 线性群66

2 线性变换66

3-2-2 交比69

3-2-3 对称性71

3-2-4 Steiner圆网76

习题79

3 初等映照80

3-3-1 幂函数与指数函数所实现的映照81

3-3-2 Жуковский映照83

3-3-3 初等Riemann面87

习题90

4-1-1 复积分92

第四章 局部Cauchy定理92

1 局部Cauchy定理92

4-1-2 原函数95

4-1-3 圆域内Cauchy定理98

习题103

2 圆域内Cauchy积分公式105

4-2-1 圆域内Cauchy积分公式105

4-2-2 高阶导数107

4-2-3 Morera定理114

习题115

1 Cauchy定理118

5-1-1 解析函数沿连续曲线的积分118

第五章 Cauchy定理118

5-1-2 绕数121

5-1-3 Cauchy定理123

习题134

2 Cauchy定理的证明136

5-2-1 Artin的证明136

5-2-2 D：xon的证明141

5-3-1 单连区域内解析函数的原函数143

3 单连区域143

5-3-2 单连区域146

第六章 局部性质149

1 Laurent展式149

6-1-1 Laurent展式149

6-1-2 Laurent展开之例151

习题153

2 孤立奇点154

6-2-1 可去奇点155

6-2-2 极点157

6-2-3 本性奇点159

6-2-4 函数在无穷远点的解析性160

习题163

3 局部映照164

6-3-1 局部映照164

6-3-2 推论166

习题168

1 留数及留数定理169

7-1-1 留数169

第七章 留数定理169

7-1-2 留数定理172

习题173

2 积分的计算174

7-2-1 积分的计算174

7-2-2 积分的计算(续)180

习题186

3 幅角原理187

7-3-1 幅角原理187

7-3-2 Rouche定理189

习题191

1 最大模原理193

8-1-1 最大模原理193

第八章 最大模原理193

8-1-2 几则应用195

习题199

2 Schwarz引理200

8-2-1 Schwarz引理200

8-2-2 双曲几何202

习题205

9-1-1 共轭微分207

第九章 局部Dirichlet问题207

1 调和函数207

9-1-2 极值原理209

9-1-3 Poisson公式212

9-1-4 Jcusen公式214

习题216

2 Schwarz定理217

9-2-1 Schwarz定理217

9-2-2 典型区域的Dirichlet问题与Schwarz问题220

9-2-3 均值性与调和性225

习题226

第十章 解析开拓228

1 对称原理228

10-1-1 对称开拓228

10-1-2 开拓之例230

10-1-3 对称原理234

习题236

2 单值性定理238

10-2-1 解析开拓238

10-2-2 单值性定理242

习题244

第十一章 Riemann存在定理246

1 正规族246

11-1-1 Arzela-Ascoli定理247

11-1-2 Montel原理249

习题250

2 Riemann存在定理250

11-2-1 存在定理250

11-2-2 边界对应253

习题257

11-3-1 Schwarz-Christoffel公式258

3 多角形映照258

11-3-2 两组特例261

11-3-3 公式的又一证明264

习题267

第十二章 无穷乘积269

1 部分分式269

12-1-1 Mittag-Leffler定理270

12-1-2 几则展式271

习题273

12-2-1 无穷乘积274

2 因子分解274

12-2-2 因子分解定理277

习题282

3 Г-函数283

12-3-1 定义283

12-3-2 性质285

习题289

4 Riemannξ-函数289

12-4-1 ξ-函数289

12-4-2 函数方程292

习题295