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引论1

第一章 复数6

1.复数及其运算6

1.复数概念6

2.复数的加法与乘法6

3.复数的减法与除法8

2.复数和几何表示法·关于模与辐角的定理9

1.复数的几何表示法9

3.模与辐角的概念10

序10

2.复数的加法与减法的几何意义10

4.关于模与幅角的定理11

5.数？的几何表示法13

6.复数的积与商的几何作图14

3.极限15

1.极限理论的基本原则15

2.极限点概念17

3.有界的与无界的复数序列17

4.波尔察诺-维尔斯脱拉斯定理18

5.复数序列的收敛概念19

6.极限理论的基本定理20

7.哥西判别法20

4.复数球面·无穷远点22

1.复数在球面上的表示法·无穷远点22

2.球极投影的公式23

3.球极投影的基本性质24

4.保角性25

1.收敛级数与发散级数的概念26

5.级数26

2.收敛级数的一个必要条件27

3.绝对收敛级数的概念28

4.级数的加法与减法29

5.关于二重级数的一个定理30

6.级数的项的重排32

7.级数的乘法33

第一章习题35

1.复变函数37

1.复变函数概念37

第二章 复变数与复变函数37

2.区域的概念·约当曲线38

3.复变函数的连续性41

4.关于一致连续性的定理·海涅-波勒尔预备定理44

2.函数项级数46

1.一致收敛级数的概念46

2.关于级数的和的连续性的定理49

3.一致收敛级数的判别法50

1.幂级数的收敛区域的概念51

3.幂级数51

2.阿贝尔第一定理52

3.收敛圆53

4.上极限的概念55

5.收敛半径的判定56

6.幂级数的一致收敛性60

7.阿贝尔第二定理61

4.复变函数的微分法·初等函数64

1.导数概念64

2.在一个区域内解析的函数的概念65

3.微分概念66

4.哥西黎曼条件67

5.共轭调和函数71

6.幂级数的微分法72

7.指数函数、三角函数与双曲线函数73

8.单叶函数·反函数78

9.根式、对数函数与反正弦函数80

10.多值函数的分支·关于支点的概念82

11.黎曼曲面的概念89

1.导数的辐角的几何意义94

5.保角映射94

2.导数的模的几何意义97

3.保角映射97

4.第二类保角映射98

5.微分的几何意义101

6.映射w=f(z)的主要部分102

第二章习题104

第三章 线性变换与其他的简单变换107

1.线性函数107

1.整线性函数107

2.函数w=？108

3.一般线性函数110

4.线性函数关于圆周的性质111

5.线性变换的参数与不变量112

6.把上半平面变成自己的映射114

7.在线性变换下互相对称的点对的不变性115

8.把圆变成上半平面的映射116

9.把圆变成自己的映射117

10.用对称映射来表示线性变换118

11.线性变换的不同类型119

12.重点的性质123

13.椭圆式变换的几何意义125

14.把圆变成自己的变换的特征125

2.线性变换与罗拔切夫斯基几何127

1.罗拔切夫斯基几何在圆上的欧几里得图像127

2.给定附标的两点间的非欧距离的计算法128

3.非欧几里得圆周129

4.曲线的非欧长度130

5.非欧几里得面积130

7.超环131

6.远环131

8.罗拔切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图像132

9.圆周的非欧几里得长度133

10.罗拔切夫斯基几何中的平行角134

11.圆与三角形的非欧几里得面积135

3.若干初等函数与这些函数构成的映射137

1.幂函数与根式137

2.指数函数与对数函数141

第三章习题143

1.复变积分的概念145

第四章 哥西定理·哥西积分145

1.复变积分145

2.复变积分的基本性质147

3.一致收敛级数的积分法149

4.哥西定理150

2.哥西定理152

1.基本预备定理152

2.哥西定理证明的简化154

3.哥西定理的证明155

4.复数域中的不定积分概念158

5.哥西定理扩充到复的闭路的情形161

6.对数函数163

7.预备定理167

8.哥西定理的推广169

3.哥西积分171

1.哥西公式171

2.哥西公式扩充到复闭路的情形172

3.哥西型积分174

4.区域内解析函数的一切高级导函数的存在性177

5.摩勒尔定理178

6.在解析函数理论的建立中的各种不同的观点179

7.哥西型积分的极限值180

8.当边界函数满足火伊尔德-立勃希兹条件时哥西型积分的极限值185

9.波哇松积分192

第四章习题195

第五章 解析函数项级数·解析函数的幂级数展开式198

1.一致收敛的解析函数项级数198

1.维尔斯脱拉斯第一定理198

1.维尔斯脱拉斯定理在幂级数上的应用203

2.戴劳级数203

2.解析函数的幂级数展开式205

3.全纯函数的概念以及它与解析函数概念的等价性208

4.解析函数的唯一性209

5.最大模原理213

6.解析函数的零点216

7.零点的级217

8.幂级数系数的哥西不等式217

10.维尔斯脱拉斯第二定理218

9.里乌威尔定理218

第五章习题219

第六章 单值函数的孤立奇异点221

1.罗朗级数221

1.解析函数的罗朗展开式221

2.罗朗级数的正则部分与主要部分223

3.罗朗展开式的唯一性224

2.单值函数的奇异点的分类225

1.孤立奇异点的三种类型225

3.极点226

2.可去奇异点226

4.零点与极点间的联系227

5.本性奇异点229

6.函数在孤立奇异点领域内的性质231

3.解析函数在无穷远点的性质232

1.无穷远点的领域232

2.在无穷远点的领域内的罗朗展开式233

3.函数在无穷远点领域内的性质234

4.哥西型积分转化成哥西积分的条件235

1.整函数236

4.最简单的解析函数族236

2.半纯函数237

3.展开有理函数成部分分式239

4.代数基本定量239

5.在流体动力学中的应用239

1.无涡旋且无源泉的流体流动239

2.流动的特征函数241

3.绕过圆柱体的无环流流动242

5.一般情形245

4.纯环流245

第六章习题247

第七章 残数理论251

1.残数的一般理论251

1.函数关于孤立奇异点的残数251

2.关于残数的基本定理252

3.函数关于极点的残数之计算253

4.函数关于无穷远点的残数254

5.积分？dz的计算256

1.代数基本定理259

2.残数理论的应用259

2.儒歇定理260

3.残数理论在定积分计算上的应用262

4. ctgz展开成简单分式267

第七章习题270

第八章 毕卡定理272

1.布洛赫定理272

1.关于全纯函数的反函数的定理272

2.布洛赫定理的证明273

1.朗道定理的证明275

2.朗道定理275

2.毕卡的小定理277

3.夏特基不等式278

1.夏特基不等式的导出278

2.广义夏特基不等式280

4.毕卡的一般定理281

第八章习题282

1.无穷乘积283

1.收敛的与发散的无穷乘积283

第九章 无穷乘积与它对解析函数的应用283

2.无穷乘积收敛性的基本判别法285

3.全纯函数的无穷乘积表示法289

2.无穷乘积在整函数理论上的应用290

1.维尔斯脱拉斯公式290

2.整函数的无穷乘积表示法294

3.把半纯函数表作两个整函数之比296

4.米他格-列夫勒问题296

3.解析函数唯一性定理的推广297

1.解析函数唯一性定理可能的推广297

2.雅可比与靳生公式298

3.唯一性定理的证明300

4.对有界函数来说唯一性定理再进一步推广的不可能性302

第九章习题304

第十章 解析开拓306

1.解析开拓的原理306

1.解析开拓的概念306

2.维尔斯脱拉斯意义下的完全解析函数的概念308

3.按照解析开拓原理在复数域上扩充实变函数311

1.单值函数的例312

2.例312

2.多值函数的例313

第十章习题314

第十一章 椭圆函数理论初步316

1.椭圆函数的一般性质316

1.椭圆函数的定义316

2.周期平行四边形317

3.基本定理318

4.二级椭圆函数323

2.维尔斯脱拉斯函数326

1.预备定理327

2.函数σ，ζ与？328

3.任意椭圆函数的简单分析表示法335

1.把椭圆函数表成一些简单基元之和335

2.把椭圆函数表成基本因子的乘积之比337

4.函数σκ339

5.雅可比椭圆函数342

1.整周期函数的展开式345

6.西他函数345

2.函数θ347

3.函数θκ350

4.西他函数的性质353

7.用西他函数表示雅可比椭圆函数357

8.雅可比椭圆函数的加法公式359

第十一章习题361

第十二章 保角映射理论的一般原则364

1.确定保角映射的条件364

1.把单位圆变成它自己的映射364

2.确定保角映射的唯一性的条件366

2.保角映射理论的基本原则368

1.保存区域的原则368

2.双方单值对应的原则373

3.黎曼-希瓦尔兹对称原则374

4.对称原则的推广380

5.解析开拓的希瓦尔兹原则381

6.调和函数的对称原则382

7.对称原则的应用385

1.把圆|z|〈1变到一个内部区域的全纯函数的解析表达式386

3.把单位圆变到一个内部区域的一般变换386

2.希瓦尔兹预备定理389

3.应用希瓦尔兹预备定理来估计满足这个定理的条件的那些函数的导函数392

4.希瓦尔兹预备定理的一般形式393

5.变换的重点的存在性395

4.解析函解的唯一性396

1.由边界值来确定解析函数的唯一性396

2.唯一性定理的推广398

5.把二次曲线所包围的区域变成上半平面的保角映射399

1.等轴双曲线399

2.抛物线400

3.双曲线与椭圆405

4.把椭圆内部变成半平面的映射410

6.单连通区域的保角映射412

1.黎曼定理提法的化简413

2.辅助函数及其基本性质415

3.基本预备定理416

4.黎曼定理的证明417

7.在保角映射下边界的对应关系419

1.问题的提法421

2.关于边界对应的定理的证明422

8.把矩形与任意多角形变成上半平面的映射426

1.矩形426

2.雅可比椭圆函数431

3.多角形433

4.三角形439

5.把多角形的外部变成上半平面的映射443

第十二章习题444

1.内部面积定理447

1.系数问题447

第十三章 单叶函数的一般性质447

2.外部面积定理449

3.在单叶函数展开式中含z2项系数的模的上界450

4.柯北常数451

5.变形定理452

6.单叶函数的模的界限453

7.旋转定理455

8.单叶函数展开式中系数的模的一般界限456

9.在单叶函数展开式中实系数的模的共同界限457

1.凸性界限459

2.凸性界限与星性界限459

2.星性界限460

3.构成把单位圆变成特殊区域的单叶保角映射的函数的性质461

1.星形函数与凸函数461

2.凸函数与星形函数的展开式中系数的模的上界462

4.把区域映射成圆的函数的极值问题464

1.预备定理464

2.第一极值问题466

3.第二极值问题468