《复变函数逼近论》求取 ⇩

第一部分用级数展开及插值进行逼近1

1.将复函数展开为正交级数及的 Faber 级数1

1.Hilbert 空间 L2(G)2

A.L2(G)的定义2

B.将 L2(G)看作 Hilbert 空间4

2.L2(G)中的规格化正交系，特别是多项式的规格化正交系5

A.规格化正交系的构造，Gram 矩阵6

A1.Schmidt 正交化方法6

A2.用 Gram 矩阵得到规格化正交系7

A3.特殊情况:L2(G)中的多项式9

B.正交多项式的零点11

C.规格化正交多项式的渐近展开12

2的提示18

3.多项式在 L2(G)中的完备性18

A.问题与例18

B.具有 PA 性质的区域19

C.不具有 PA 性质的区域22

C1.有割线的区域23

C2.月形区域23

3的提示27

4.在 L2(G)中按规格化正交系展开28

A.在 Hilbert 空间中的规格化正交系展开28

B.在空间 L2(G)中规格化正交系展开30

C.f 在?上解析时，逼近的精确度31

4的提示35

5.Bergman 核函数36

A.核函数的引入，它的性质36

B.Bergman 核函数的双线性级数38

C.用 Bergman 核函数来构造保角变换39

C1.k 与保角变换之间的关系39

C2.Bieberbach 多项式41

C3.在规格化正交过程中用奇异函数43

D.Bergman 核函数的进一步应用44

D1.具有中值性质的区域44

D2.将?f(x)dx 表示为面积分45

5的提示48

6.关于逼近的精确度，Faber 展开48

A.Cauchy 型积分的边界性质48

B.Faber 多项式，Faber 展开50

C.将 Faber 变换看作有界算子54

C1.有界旋转曲线54

C2.Faber 变换 T55

D.有界旋转曲线内部的逼近精确度58

D1.预备知识，一致收敛性58

D2.从属于 h 的 Cauchy 型积分的连续模60

D3.逼近的精确度61

E.进一步结果的推导64

E1.进一步的一致估计64

E2.局部估计64

6的提示66

2.用插值实现逼近68

1.Hermite 插值公式68

A.插值多项式的表示式68

B.Hermite 公式的特殊情况70

2.一致分布点上的插值，Fejer 点，Fekete 点73

A.预备知识，粗的收敛性结论73

B.kalm?r 与 Walsh 的一般收敛性定理74

C.Fejer 节点组79

D.Fekete 节点组81

2的提示83

3.在一般紧集上的逼近，Runge 定理85

A.再一次讨论：Fekete 点上的插值85

B.Runge 逼近定理89

3的提示91

4.单位圆上的插值91

A.在{z:|z|=r}，r<1上的插值91

B.在{z:|z|=1}上的插值94

C.有理函数逼近101

4的提示103

第二部分复数域上的一般逼近定理105

3.在紧集的逼近105

1.Runge 逼近定理105

A.一般 Canchy 公式106

B.Runge 定理107

C.极点移动法109

2.Mergelyan 定理111

A.叙述结果，特殊情况，推论111

B.证明方法113

B1.Tietze 的开拓定理113

B2.一个表示式114

B3.Koeb 的1/4定理115

B4.Mergelyan 引理116

C.Mergelyan 定理的证明120

2的提示125

3.有理函数逼近125

A.瑞士铜钱126

A1.Alice Roth 的构造126

A2.具有内点的瑞士铜钱128

A3.具有两个成分的瑞士铜钱130

A4.孔眼累积到趋于 D 的直径130

B.关于 Bishop 定理的方法131

B1.一个积分变换131

B2.单位分解133

C.Bishop 局部化定理及应用134

C1.局部化定理134

C2.Bishop 定理的应用136

D.Vitushkin 定理，一个报告139

3的提示140

4.Roth 的联合引理141

A.联合引理142

B.Bishop 定理的新证明146

4.在闭集上的逼近149

1.用亚纯函数实现一致逼近149

A.问题的提出149

B.Roth 逼近定理150

C.逼近定理的特殊情况153

C1.G 的一点紧化 G°,G°/F 的连通性153

C2.亚纯逼近的三个充分性准则154

D.亚纯函数逼近不成立的集合的特征156

2.用全纯函数实现一致逼近157

A.在亚纯函数中移动极点158

B.拓扑上的预先考虑159

C.Arakel jan 逼近定理161

C1.用全纯函数逼近亚纯函数161

C2.Arakeljan 定理164

2的提示166

3.具有速度的逼近167

A.问题的提出，Carleman 定理168

A1.相切逼近，e 逼近168

A2.两个引理169

A3.Carleman 定理172

B.特殊情况 F 处处不稠密174

B1.e 逼近的充分条件175

B2.F°=? 时的相切逼近179

C.Nersesjan 定理180

C1.条件(A)，一个引理180

C2.Nersesjan 定理181

3的提示184

4.具有一定速度的逼近185

A.不满足条件(A)的ε逼近186

B.逼近函数的增长度188

C.特殊情况 F=R188

5.逼近定理的一些应用189

A.整函数的半径边界值190

B.单位圆内解析函数的边界性质196

B1.一个一般的逼近定理196

B2.半径边界值的 Dirichlet 问题198

C.逼近与唯一性的结论200

D.各种不同的进一步构造202

D1.在可数多个曲线上预先给定的边界性质202

D2.具有预先给定丛集的解析函数203

D3.Schneider 面团205

D4.整函数的 Julia 方向205

5的提示207

符号及表示209

专门名词210

参考文献214

中译本补充参考文献246