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第一章复数和复变函数1

1复数的代数运算和共轭运算1

1.1 复数的概念1

1.2 复数的代数运算1

1.3 复数的共轭运算3

2复数的几何表示法5

2.1 复数的点表示法5

2.2 复数的极坐标表示法6

2.3 复数的向量表示法9

2.4 无穷远点和复数的球面表示法11

3方根和曲线的复数方程13

3.1 模与幅角的运算13

3.2 方根18

3.3 曲线的复数方程19

4复变函数24

4.1 函数的定义24

4.2 函数的表示法25

4.3 函数的定义域25

4.4 复变函数的几何表示——映射28

4.5 反函数和逆映射的概念32

5函数的极限与连续性37

5.1 函数的极限37

5.2 函数的连续性37

5.3 连续函数的基本性质39

第二章解析函数42

1可微函数42

1.1 可微函数的定义及其判别定理42

1.2 微商的运算法则48

1.3 微商的几何意义48

2解析函数52

2.1 解析函数的定义52

2.2 解析函数的运算法则55

2.3 解析函数的判别定理56

2.4 解析函数与调和函数59

3初等函数63

3.1 指数函数63

3.2 三角函数64

3.3 双曲函数66

3.4 根式函数67

3.5 对数函数77

4平面场与解析函数81

4.1 复变函数与平面场81

4.2 流量与环量82

4.3 无源无汇无旋的平面流速场84

4.4 势函数和流函数84

4.5 平面流速场的复势85

第三章复变函数的积分91

1积分的定义和计算公式91

1.1 一些规定91

1.2 积分的定义92

1.3 复积分与实函数的曲线积分93

1.4 复积分的计算公式94

1.5 复积分的基本性质95

2柯西积分定理100

2.1 单连通区域上的柯西积分定理100

2.2 复积分的牛顿-莱布尼茨公式101

2.3 复连通域上的柯西积分定理104

3柯西积分公式和微商公式109

3.1 解析函数的积分表达式109

3.2 解析函数的无穷次可微性质113

3.3 柯西型积分及其性质116

4解析函数的一些重要性质120

4.1 平均值定理与最大模原理120

4.2 柯西不等式123

4.3 刘维尔定理与代数基本定理124

5解析函数的等价条件127

5.1 柯西积分定理的推广127

5.2 柯西积分定理的逆定理127

5.3 解析函数的等价条件128

第四章解析函数的幂级数表示129

1复数值级数129

1.1 收敛、发散概念129

1.2 收敛判别法130

2复函数级数137

2.1 收敛域的概念和逐点收敛准则137

2.2 一致收敛的概念及其判别法139

2.3 和函数的性质142

3幂级数147

3.1 幂级数的敛散性质147

3.2 收敛域的结构和求法148

3.3 和数的性质149

4解析函数的泰勒展开及其应用150

4.1 泰勒展开定理150

4.2 内部唯一性定理156

4.3 解析函数在零点附近的性质159

5解析函数的罗朗展开164

5.1 罗朗级数和它的收敛域164

5.2 环上解析函数的罗朗展开166

6解析函数的孤立奇点174

6.1 孤立奇点与非孤立奇点174

6.2 孤立奇点的分类175

6.3 孤立奇点的类型判别177

6.4 无穷远孤立奇点182

第五章留数理论及其应用187

1留数基本定理187

1.1 留数的定义和留数基本定理187

1.2 留数的计算方法188

1.3 函数在无穷远点的留数192

2留数定理在积分计算上的应用198

2.1 在自变量变换下,可化为围道积分的积分198

2.2 化定积分为围道积分的封闭化方法201

2.3 在封闭化方法下,可化为围道积分的积分206

3儒歇定理及其应用219

3.1 对数留数定理和儒歇定理219

3.2 幅角原理224

3.3 解析映射的保域性质226

第六章保形映射230

1解析映射的一般性质230

1.1 映射的基本概念230

1.2 解析映射的一般性质231

2分式线性映射236

2.1 特殊型的分式线性映射236

2.2 分式线性映射的保形性239

2.3 三对对应点唯一决定一分式线性映射242

2.4 分式线性映射的保圆性244

2.5 分式线性映射把对称点变为对称点244

2.6 分式线性映射的应用例子246

3初等函数构成的保形映射249

3.1 角域到角域的映射249

3.2 带域到角域的映射253

4儒科夫斯基映射257

4.1 儒科夫斯基映射257

4.2 儒科夫斯基映射的逆映射261

4.3 机翼剖面外部区域到圆外部的保形映射262

4.4 圆柱绕流问题266

答案与提示269

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