《复变函数》

第一章复数1

1 复数的几何表示1

2 复数的运算3

3 三角不等式11

4 复数的球面表示与扩充复平面13

第二章复变函数16

1复平面上的点集16

1.复数集16

2.曲线·域21

2解析函数的概念25

1.复变函数25

2.导数27

3.函数可导的充要条件，Cauchy-Riemann方程30

4.导数的几何意义34

3初等解析函数及其所构成的映照39

1.指数函数39

2.儒可夫斯基函数42

3.三角函数44

4.对数函数49

5.幂函数53

6.儒可夫斯基函数的反函数与反三角函数56

7.初等多值函数的其他例子62

第三章Cauchy定理与Cauchy公式70

1 积分70

2Cauchy定理77

1.Cauchy定理77

2.变上限积分确定的函数89

3Cauchy公式98

1.Cauchy公式98

2.Morera定理与Liouville定理103

3.最大模原理与Schwarz引理105

第四章解析函数的级数展式116

1函数项级数，Weierstrass定理116

1.级数的一般概念与基本性质116

2.Weierstrass定理120

3.幂级数125

2Taylor级数138

1.解析函数的Taylor展式138

2.零点的孤立性与唯一性定理140

3.初等函数的Taylor展式143

3Laurent级数148

1.解析函数的Laurent展式148

2.孤立奇点154

3.整函数与亚纯函数162

第五章留数定理及其应用168

1留数定理168

1.留数的定义与计算168

2.留数定理170

2 留数定理对亚纯函数的应用幅角原理与Rouché定理177

3留数定理对积分计算的应用188

1.两个引理189

2.积分的计算190

第六章整函数与亚纯函数219

1整函数展为无穷乘积219

1.无穷乘积219

2.Weierstrass因子分解定理222

3.Hadamard定理227

2亚纯函数展为部分分式240

1.Mittag-Leffler定理240

2.Cauchy方法243

3Г函数251

1.Г(z)的定义251

2.Gauss公式与Weierstrass公式255

3.Stirling公式259

第七章解析开拓267

1幂级数的解析开拓267

1.解析开拓的一般概念267

2.幂级数的解析开拓268

3.完全解析函数.单值性定理273

2函数越过边界的解析开拓，对称原理281

1.Painlevé定理，对称原理281

2.Rienann曲面的概念286

第八章共形映照291

1 共形映照的若干性质291

2 分式线性变换294

3 共形映照的例子313

4Riemann存在定理与边界对应326

1.Montel定理326

2.Riemann存在定理330

3.边界对应335

5多角形的共形映照，Schwarz-Christoffel公式341

1.一般的多角形341

2.三角形与矩形的情形350