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第六章单值函数的孤立奇异点235

1．罗朗级数235

1．解析函数的罗朗展开式235

—2．罗朗级数的正则部分与主要部分238

—3．罗朗展开式的唯一性239

2．单值函数的奇异点的分类240

1．孤立奇异点的三种类型240

—2．可去奇异点240

—3．极点241

—4．塞点与极点间的联系242

—5．本性奇异点244

—6．函数在弧立奇异点鄰域内的性质246

3．解析函数在无穷远点的性质247

1．无穷远点的鄰域247

—2．在无穷远点的鄰域内的罗朗展开式248

—3．函数在无穷远点鄰域内的性质249

—4．哥西型积分转化成哥西积分的条件250

4．最简单的解析函数族251

1．整函数251

—2．半纯函数252

—3．展开有理函数成部分分式254

—4．代数基本定理254

5．在流体动力学中的应用255

1．无涡旋且无源泉的流体流动255

—2．流动的特徵函数257

—3．绕过圆柱体的无环流流动258

—4．纯环流260

—5．一般情形261

第六章习题262

第七章残数理论264

1．残数的一般理论266

1．函数关于孤立奇异点的残数266

—2．关于残数的基定理267

—3．函数关于极点的残数之计算268

—4．函数关于无穷远点的残数270

—5．积分1/2πi？？(z)f′(z)/f(z)az的计算271

2．残数理论的应用274

1．代数基本定理274

—2．儒歇定理275

—3．残数理论在定积分计算上的应用277

—4．ctgz展开成简单分式282

第七章习题285

第八章毕卡定理286

1．布洛赫定理287

1．关于全纯函数的反函数的定理287

—2．布洛赫定理的证明288

2．朗道定理290

1．朗道定理的证明290

2．毕卡的小定理292

1．夏特基不等式的导出293

3．夏特基不等式293

—2．广义夏特基不等式295

4．毕卡的一般定理296

第八章习题297

第九章无穷乘积与它对解析函数的应用298

1．无穷乘积298

1．收敛的与发散的无穷乘积298

—2．无穷乘积收敛性的基本判别法300

—3．全纯函数的无穷乘积表示法304

1．维尔斯脱拉斯公式306

2．无穷乘积在整函数理论上的应用306

—2．整函数的无穷乘积表示法310

—3．把半纯函数表作两个整函数之比312

—4．米他格－列夫勒问题312

3．解析函数唯一性定理的推广313

1．解析函数唯一性定理可能的推广313

—2．雅可比与靳生公式314

—3．唯一性定理的证明317

—4．对有界函数来说唯一性定理再进一步推广的不可能性319

第九章习题320

1．解析开拓的概念322

第十章解析开拓322

1．解析开拓的原理322

—2．维尔斯脱拉斯意义下的完全解析函数的概念324

—3．按照解析开拓原理在复数域上扩充实变函数328

2．例329

1．单值函数的例329

—2．多值函数的例329

第十章习题331

1．椭圆函数的定义333

第十一章椭圆函数理论初步333

1．椭圆函数的一般性质333

—2．周期平行四边形334

—3．基本定理335

—4．二级椭圆函数341

2．维尔斯脱拉斯函数344

1．预备定理345

—2．函数σ，ζ与？345

1．把椭圆函数表成一些简单基元之和354

3．任意椭圆函数的简单分析表示法354

—2．把椭圆函数表成基本因子的乘积356

4．函数σk358

5．雅可比椭圆函数361

6．西他函数365

1．整周期函数的展开式365

—2．函数θ366

—3．函数θk370

—4．西他函数的性质373

7．用西他函数表示雅可比椭圆函数378

8．雅可比椭圆函数的加法公式380

第十一章习题381

第十二章保角映射的一般原则385

1．确定保角映射的条件385

1．把单位圆变成它自己的映射385

—2．确定保角映射的唯一性的条件387

2．保角映射理论的基本原则389

1．保存区域的原则389

—2．双方单值对应的原则394

—3．黎曼－希瓦尔兹对称原则395

—4．对称原则的推广402

—5．解析开拓的希瓦尔兹原则403

—6．调和函数的对称原则404

—7．对称原则的应用407

3．把单位圆变到一个内部区域的一般变换408

1．把单位圆变到一个内部区域的全纯函数的解析表达式408

—2．希瓦尔兹预备定理411

—3．应用希瓦尔兹预备定理来估计满足这个定理的条件的那些函数的导函数413

—4．希瓦尔兹预备定理的一般形式415

—5．变换的重点的存在性416

1．由边界值来确定解析函数的唯一性418

4．解析函数的唯一性418

—2．唯一性定理的推广419

5．把二次曲线所包围的区域变成上半平面的保角映射420

1．等轴双曲线420

—2．抛物线422

—3．双曲线与椭圆426

—4．把椭圆内部变成半平面的映射431

6．单连通区域的保角映射433

1．黎曼定理提法的化简434

—2．辅助函数及其基本性质436

—3．基本预备定理437

—4．黎曼定理的证明438

7．在保角映射下边界的对应关系441

1．问题的提法443

2．2．关于边界对应的定理的证明444

8．把矩形与任意多角形变成上半平面的映射448

1．矩形448

—2．雅可比椭圆函数452

—3．多角形455

—4．三角形461

—5．把多角形的外部变成上半平面的映射465

第十二章习题466

第十三章单叶函数的一般性质469

1．系数问题469

1．内部面积定理469

—2．外部面积定理471

—3．在单叶函数展开式中含z2项系数的模的上界472

—4．柯北常数473

—5．变形定理474

—6．单叶函数的模的界限475

—7．旋转定理477

—8．单叶函数展开式中系数的模的一般界限478

—9．在单叶函数展开式中实系数的模的一般界限480

2．凸性界限与星性界限481

1．凸性界限481

—2．星性界限482

3．构成把单位圆变成特殊区域的单叶保角映射的函数的性质483

1．星形函数与凸函数483

—2．凸函数与星形函数的展开式中系数的模的上界484

4．把区域映射成圆的函数的极值问题487