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第一章 复数和复函数1

1.1 复数1

1. 复数域1

2. 复数的几何表示2

3. 球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面6

习题1.18

1.2 复变函数9

1. 复变函数的概念9

2. 复变函数的极限与连续性10

3. 同伦概念和区域的连通性11

4. 辐角函数15

习题1.220

1.3 复数列和复级数22

1. 复数列和复数项级数22

2. 复函数列和复函数项级数23

习题1.324

第一章习题24

1. 导数及其几何意义26

2.1 解析函数26

第二章 解析函数基础26

2. 解析函数概念30

习题2.132

2.2 一些初等解析函数33

1. 多项式和有理函数33

2. 指数函数33

3. 三角函数和双曲函数35

4. 对数函数37

5. 幂函数和根式函数40

6. 多值函数分枝问题44

7. 有理函数的对数48

8. 有理函数的方根51

9. 反三角函数和反双曲函数54

习题2.255

第二章习题57

第三章 复积分59

3.1 复积分概念59

1. 复积分的定义及计算59

2. 复积分的基本性质62

习题3.163

3.2 基本定理64

1. 柯西积分定理65

2. 原函数71

习题3.275

3.3 基本公式76

1. 柯西积分公式76

2. 柯西导数公式78

4. 莫瑞勒(Morera)定理81

3. 柯西不等式81

习题3.382

3.4 反常复积分83

1. 反常复积分的定义83

2. 柯西主值积分85

3. 高阶奇异积分88

习题3.491

第三章习题91

4.1 一般理论93

1. 复函数项级数的逐项积分和逐项求异93

第四章 解析函数的级数理论93

2. 幂级数及其和函数94

习题4.197

4.2 泰勒展式及唯一性定理98

1. 解析函数的泰勒展式98

2. 解析函数的唯一性105

3. 最大模原理107

习题4.2109

4.3 罗朗展式及孤立奇点111

1. 解析函数的罗朗展式112

2. 求罗朗展式的方法114

3. 解析函数的孤立奇点118

4. 整函数和亚纯函数125

习题4.3127

第四章习题129

第五章 留数理论131

5.1 留数及其计算131

1. 留数概念132

2. 无穷远点处的留数135

3. 边界点的情形137

习题5.1139

5.2 留数定理及其推广140

1. 留数定理140

2. 推广的留数定理143

习题5.2147

5.3 应用于积分计算147

1. 单值解析函数的应用148

2. 多值解析函数的应用153

习题5.3161

3. 高阶奇异积分的应用161

5.4 辐角原理和儒歇(Rouche)定理163

1. 辐角原理163

2. 儒歇定理165

习题5.4167

第五章习题168

第六章 解析开拓171

6.1 解析开拓的概念和方法171

1. 基本概念171

2. 透弧开拓172

3. 幂级数开拓178

习题6.1181

6.2 完全解析函数及单值性定理183

1. 完全解析函数和黎曼面183

2. 单值性定理185

习题6.2190

第六章习题190

第七章 共形映照191

7.1 分式线性映照191

1. 共形性192

3. 三对对应点决定分式线性映照194

2. 映照群、不动点194

4. 保圆周及侧195

5. 保对称点198

6. 三个特殊的分式线性映照200

习题7.1204

7.2 共形映照的一般理论205

1. 单叶解析函数的性质205

2. 黎曼映照定理208

3. 边界对应定理211

习题7.2213

7.3 几个初等函数的映照214

1. 指数与对数函数映照214

2. 幂函数映照216

3. 儒可夫斯基(Жуковский)函数映照218

4. 余弦函数映照220

习题7.3222

7.4 综合实例223

1. 已知函数求映照区域223

2. 已知对应区域求映照函数224

习题7.4235

第七章习题237

第八章 调和函数240

8.1 调和函数的概念及其性质240

1. 调和函数与解析函数的关系240

2. 极值原理243

3. 波阿松(Poisson)公式及均值公式244

习题8.1246

1. 一般狄里克来问题247

8.2 狄里克来(Dirichlet)问题247

2. 波阿松积分的性质248

3. 圆域上的狄里克来问题250

4. 上半平面的狄里克来问题250

习题8.2252

8.3 许瓦兹(Schwarz)-克里斯多菲(Christoffel)公式252

习题8.3260

第八章习题260

9.1 解析函数的流体力学意义263

第九章 解析函数在平面场中的应用263

1. 复环流264

2. 复势265

3. 源(汇)点、涡点267

4. 偶极子268

习题9.1269

9.2 柱面绕流与机翼升力计算269

1. 圆盘绕流270

2. 一般截面绕流272

3. 机翼升力计算273

习题9.2275