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前言页1

序言1

第一章 复数1

1.1. 实数1

1.2. 复数3

1.3. 复数的平面点表示法3

致读者4

1.4. 复数的平面向量表示法6

1.5. 加法和减法6

1.6. 乘法和除法8

1.7. 摘要与记号11

1.8. 共轭数14

1.9. 向量的运算17

1.10. 极限20

第一章的补充例题与注解23

第二章 复函数33

2.1. 对复数域的扩充33

2.2. 指数函数34

2.3. 三角函数36

2.4. 欧拉定理的推论39

2.5. 欧拉定理的进一步应用41

2.6. 对数44

2.7. 幂48

2.8. 反三角函数51

2.9. 综合评论52

2.10. 单实变数的复函数：运动学表示法54

2.11. 单复变数的实函数：图解表示法56

2.12. 单复变数的复函数：在两个平面上的图示法58

2.13. 单复变数的复函数：在一个平面上的物理表示法60

第二章的补充例题与注解62

第三章 微分法：解析函数73

3.1. 导数73

3.2. 微分法则74

3.3. 可微性的解析条件：柯西－黎曼方程78

3.4. 可微性的几何解释：保形映射82

3.5. 可微性的物理解释：无源无旋向量场86

3.6. 散度和旋度89

3.7. 拉普拉斯方程94

3.8. 解析函数95

3.9. 摘要和展望97

第三章的补充例题和注解98

第四章 给定函数的保形映射112

4.1. 球极射影或托勒射影112

4.2. 球极射影的性质116

4.3. 双线性变换120

4.4. 双线性变换的性质122

4.5. 变换w=z2127

4.6. 变换w=eZ129

4.7. 麦卡托地图130

第四章的补充例题与注解132

第五章 积分法：柯西定理141

5.1. 功和流量141

5.2. 主要定理144

5.3. 复线积分145

5.4. 积分法则151

5.5. 散度定理153

5.6. 柯西定理的较正式的证明155

5.7. 柯西定理的其它形式156

5.8. 复数域内的不定积分161

5.9. 几何术语166

第五章的补充例题和注解169

6.1. 柯西积分公式176

第六章 柯西积分公式及其应用176

6.2. 在定积分计算上的第一个应用179

6.3. 柯西公式的某些推论：高阶导数182

6.4. 柯西公式的其它推论：最大模原理185

6.5. 泰勒定理 麦克劳林定理187

6.6. 罗朗定理195

6.7. 解析函数的奇点202

6.8. 留数定理206

6.9. 留数计算208

6.10. 定积分计算211

第六章的补充例题和注解220

7.1. 解析开拓231

第七章 保形映射和解析开拓231

7.2. Г函数236

7.3. 希瓦尔兹对称原理240

7.4. 一般映射问题：黎曼映射定理244

7.5. 希瓦尔兹-克利斯托菲尔映射246

7.6. 希瓦尔兹-克利斯托菲尔公式的讨论252

7.7. 退化多角形257

第七章的补充例题与注解261

第八章 流体力学266

8.1. 流体力学方程266

8.2. 复势268

8.3. 管道中的流动：源、汇、偶极子271

8.4. 管道中的流动：保形映射273

8.5. 绕过固定物体的流动279

8.6. 具自由边界的流动283

第九章 渐近展式292

9.1 渐近级数292

9.2. 记号与定义295

9.3. 渐近级数的运算298

9.4. 拉普拉斯渐近公式305

9.5. 拉普拉斯公式的佩龙推广311

9.6. 鞍点方法319

第九章的补充例题与注解326

索引329