《复变函数》

第一章复变解析函数1

1复数及其运算1

1.1复数及其表示法1

1.2复数的运算5

1.3复数球面和无穷远点16

1.4复数在平面几何中的应用19

2平面点集23

2.1基本概念23

2.2平面曲线·区域25

2.3集与集之间的距离30

3复变函数及其连续性31

3.1复变函数概念31

3.2复变函数的极限37

3.3复变函数的连续性40

4解析函数43

4.1导数与解析函数概念43

4.2柯西—黎曼条件49

4.3调和函数56

习题一61

第二章初等解析函数65

1幂函数与根式函数65

1.1幂函数65

1.2根式函数68

2指数函数与对数函数72

2.1指数函数72

2.2对数函数76

3三角函数与反三角函数81

3.1三角函数81

3.2反三角函数85

4一般幂函数87

5初等多值函数的进一步讨论90

5.1幅角函数90

5.2w=n？z与w=Lnz的进一步讨论97

5.3w=n？R（z）与w=LnR（z）（R（z）为有理函数）的可单值分支区域101

习题二109

第三章复变函数的积分112

1复变函数积分的概念112

1.1复变函数积分的定义112

1.2复变函数积分存在的条件113

1.3复变函数积分的计算117

1.4复变函数积分的基本性质119

2柯西积分定理121

2.1柯西积分定理121

2.2柯西积分定理推广到多连通区域126

2.3不定积分129

3柯西积分公式132

3.1柯西积分公式132

3.2解析函数的无穷可微性137

3.3柯西不等式141

3.4刘维尔定理142

3.5代数学基本定理的证明143

3.6莫瑞拉定理144

习题三145

第四章解析函数的级数展开148

1复数项级数148

1.1复数序列148

1.2复数项级数149

2复变函数项级数154

2.1一致收敛概念154

2.2一致收敛级数的和函数的性质156

3幂级数161

3.1幂级数的收敛性161

3.2幂级数收敛半径的求法165

3.3幂级数和函数的解析性167

4解析函数的泰勒展式168

4.1泰勒定理168

4.2解析函数零点的孤立性176

4.3解析函数的唯一性定理177

5解析函数的罗朗展式181

5.1罗朗级数181

5.2解析函数的罗朗展式184

6解析函数在孤立奇点邻域的性质190

7解析函数在无穷远点邻域的性质201

8整函数与亚纯函数205

习题四207

第五章留数及其应用211

1留数定理211

1.1留数的定义和留数定理211

1.2留数的求法213

1.3无穷远点的留数220

2留数在定积分计算上的应用224

2.1三角有理函数的积分：2π∫0R（cost、sin)dt224

2.2有理函数的积分：+∞∫-∞P（x）/Q（x）229

2.3混合型的积分：+∞∫-∞P（x）/Q（x）cosmxdx，+∞∫-∞P（x）/Q（x）sinmxax（n＞0）233

2.4关于多值函数积分241

3幅角原理与儒歇定理245

3.1幅角原理245

3.2儒歇定理248

习题五251

第六章保形映射253

1保形映射概念253

1.1导数的模与幅角的几何意义253

1.2保形映射概念257

2解析函数的映射性质257

2.1解析函数的保域性及最大模原理257

2.2单叶解析函数的映射性质261

2.3单叶解析函数的反函数及其解析性263

3黎曼存在定理和边界对应定理264

3.1黎曼存在定理265

3.2边界对应定理265

4分式线性映射267

4.1分式线性映射及其分解267

4.2分式线性映射的保形性271

4.3分式线性映射的保圆性274

4.4分式线性映射的保对称点不变性275

4.5三对对应点唯一确定分式线性映射278

4.6分式线性映射的保交比不变性280

4.7分式线性映射的应用280

5某些初等函数所构成的保形映射289

5.1幂函数与根式函数289

5.2指数函数与对数函数291

6简单区域的保形映射举例292

习题六299

附录复变函数在流体力学中的应用302

1流量与环量302

1.1流量与环量303

1.2无源、无汇和无旋的流动304

2复势306

3解析函数奇点的流体力学意义310