《复变函数》求取 ⇩

目录引言1

第一章复数与复变函数3

§1．复数3

1．复数域（3） 2．复平面（5） 3．复数的模与辐角7

4．复数的乘幂与方根（12） 5．共轭复数（14） 6．复数在代数上的应用举例（16） 7．复数在几何上的应用举例16

§2．复平面上的点集19

1．平面点集的几个基本概念（20） 2．区域与约当曲线20

§3．复变函数25

1．复变函数的概念（25） 2．复变函数的极限与连续性29

§4．复球面与无穷远点34

1．复球面（34） 2．扩充复平面上的几个概念35

*§5．复数列的极限36

第一章小结38

第一章习题40

第二章解析函数44

§1．解析函数的概念与柯西－黎曼条件44

1．复变函数的导数与微分（44） 2．解析函数及其简单性质46

3．柯西－黎曼条件48

§2．初等解析函数55

1．指数函数（55） 2．三角函数与*双曲函数56

§3．初等多值函数61

1．根式函数（61） 2．对数函数（70） 3．反三角函数75

4．一般幂函数与*一般指数函数77

第二章小结79

第二章习题81

第三章复变函数的积分86

§1．复积分的概念及其简单性质86

1．复变函数积分的定义（86） 2．复变函数积分的计算问题89

3．复变函数积分的基本性质90

§2．柯西积分定理92

1．柯西积分定理（92） 2．不定积分（95） 3．柯西积分定理的推广98

§3．柯西积分公式及其推论101

1．柯西积分公式（101） 2．解析函数的无穷可微性（105） 3．柯西不等式与刘维尔定理（109） 4．摩勒拉定理111

§4．解析函数与调和函数的关系112

第三章小结116

第三章习题117

第四章解析函数的级数表示法121

§1．复级数的基本性质121

1．复数项级数（121） 2．一致收敛的复函数项级数（124） 3．解析函数项级数126

§2．幂级数128

1．幂级数的敛散性（128）2．幂级数和的解析性131

§3．解析函数的泰勒展式132

1．泰勒定理（132） 2．一些初等函数的泰勒展式（136） 3．其他例子138

§4．解析函数的零点及唯一性定理142

1．解析函数的零点（142）2．唯一性定理145

§5．解析函数的罗朗展式147

1．双边幂级数（147）2．解析函数的罗朗展式（148） 3．解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式152

§6．解析函数的孤立奇点分类及其性质154

1．有限奇点的情形（154） 2．无穷远点的情形（158） 3．整函数与亚纯函数的概念（160） 4．杂例161

第四章小结163

第四章习题164

§1．残数170

第五章残数理论及其应用170

1．残数的定义及残数定理（170） 2．残数的求法（172） 3．函数在无穷远点的残数176

§2．用残数定理计算实积分178

1．计算∫0？R(cosθ,sinθ)dθ型积分178

2．计算∫-∞？P(x)/Q(x)182

3．计算∫-∞？P(x)/Q(x)etmxdx型积分186

*4．计算积分路径上有奇点的积分188

§3．辐角原理及其应用190

1．对数残数（190） 2．辐角原理（192） 3．儒歇定理193

第五章小结197

第五章习题198

第六章保形变换202

§1．解析变换的特性202

1．解析变换的保角性——导数的几何意义（202） 2．解析变换的保域性及最大模原理（206） 3．单叶解析变换的保形性209

§2．线性变换210

1．线性变换及其分解（210）2．线性变换的保形性（214）3．线性变换的保交比性（215） 4．线性变换的保圆周（圆）性（217）5．线性变换的保对称点性（219） 6．线性变换的应用221

§3．某些初等函数所构成的保形变换226

1．幂函数与根式函数（226） 2．指数函数与对数函数228

§4．关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理230

1．黎曼存在定理（230） 2．边界对应定理232

第六章小结233

第六章习题234

第七章解析开拓237

§1．解析开拓的概念与幂级数开拓237

1．解析开拓的概念（237）2．解析开拓的幂级数方法241

§2．完全解析函数及黎曼面的概念246

1．完全解析函数（246） 2．黎曼面概念247

第七章小结251

第七章习题252

附录平面向量场——解析函数的应用255

1．流量与环量（256）2．无源、漏的无旋流动（257）3．复势258

4．奇点的流体力学意义（260） 5．在电场中的应用举例262