《复变函数》

目 录1

第一章复数与复变函数1

§1 复数及其代数运算1

1．复数的概念1

2．复数的代数运算2

§2复数的几种表示法7

1．复数的代数表示法7

2．复数的坐标表示法7

3．复数的向量表示法7

4．复数的三角表示法11

5．复数的指数表示法11

6．利用复数的指数形式作代数运算13

△7．复球面及无穷远点19

§3区域20

1．点集20

2．曲线21

3．区域23

4．单连通域与多连通域25

§4 复变函数26

1．复变函数的概念26

2．映射的概念28

§5 复变函数的极限和连续性34

1．函数的极限34

2．函数的连续性35

小结36

思考题40

习题44

第二章解析函数44

§1解析函数与柯西－黎曼条件44

1．复变函数的导数44

2．解析函数的概念47

3．柯西－黎曼（Cauchy-Riemann）条件49

*§2解析函数与调和函数的关系53

§3初等函数59

1．指数函数59

2．三角函数和双曲函数60

3．对数函数60

4．幂函数66

小结67

思考题69

习题70

第三章复变函数的积分73

§1 复变函数积分的概念73

1．有向曲线73

2．积分的定义74

3．积分的性质74

4．积分的计算75

§2柯西定理81

1．柯西定理81

2．牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式83

3．多连通域上的柯西定理84

§3柯西积分公式88

§4解析函数的高阶导数92

小结95

思考题98

习题99

第四章级数101

§1 级数及其基本性质101

1．复数项级数101

2．幂级数104

3．幂级数的收敛圆与收敛半径106

4．幂级数的运算和性质109

§2泰勒级数112

§3 罗朗级数117

小结129

思考题133

习题134

第五章留数136

§1孤立奇点136

1．孤立奇点136

2．函数的零点与极点的关系139

*3．函数在无穷远点的性态142

§2 留数145

1．留数及其基本定理145

2．z0为f(z)的极点时留数的计算规则148

*3．在无穷远点的留数154

*§3 留数在某些积分计算中的应用158

△§4 辐角原理163

1．对数留数163

2．辐角原理165

小结167

思考题170

习题171

△第六章保角映射………………………………………………17？§1保角映射的概念173

1．导数的辐角与模的几何意义173

2．保角映射176

§2分式线性映射178

1．线性映射178

2．函数w=1/z183

3．分式线性映射188

§3 决定分式线性映射的条件191

1．三点式191

2．上半平面映射成单位圆内的分式线性映194

3．单位圆内映射成单位圆内的分式线性映射196

§4 几个初等函数所构成的映射197

1．幂函数w=zn197

2．指数函数w=ez200

小结203

思考题207

习题208

习题答案210