《复变函数引论 数学系（甲）用》求取 ⇩

引论1

第一章复数6

1.复数及其运算6

1.复数概念6

2.复数的加法与乘法6

3.复数的减法与除法8

2.复数的几何表示法、关于模与辐角的定理10

1.复数的几何表示法10

2.复数的加法与减法的几何意义10

3.模与辐角的概念11

4.关于模与辐角的定理12

5.数？的几何表示法14

6.复数的积与商的几何作图14

3.极限16

1.极限理论的基本原则16

2.极限点概念17

3.有界的与无界的复数序列18

4.波尔察诺－维尔斯脱拉斯定理18

5.复数序列的收敛概念20

6.极限理论的基本定理20

7.哥西判别法21

4.复数球面、无劣远点22

1.复数在球面上的表示法无穷远点22

2.球极投影的公式24

3.球极投影的基本性质26

4.保角性27

5.级数27

1.收敛级数与发散级数的概念27

2.收敛级数的一个必要条件28

3.绝对收敛级数的概念29

4.级数的加法与减法31

5.关于二重级数的一个定理32

6.级数的项的重排34

7.级数的乘法35

第一章习题36

第二章复变数与复变函数39

1.复变函数39

1.复变函数概念39

2.区域的概念约当曲线40

3.复变函数的连续性44

4.关于一致连续性的定理海涅－波勒尔预备定理47

2.函数项级数49

1.一致收敛级数的概念49

2.关于级数的和的连续性的定理52

3.一致收敛级数的判别法53

3.幂级数54

1.幂级数的收敛区域的概念54

2.阿贝尔第一定理55

3.收敛圆56

4.上极限的概念58

5.收敛半径的判定60

6.幂级数的一致收敛性64

7.阿贝尔第二定理65

4.复变函数的微分法、初等函数68

1.导数概念68

2.在一个区域内解析函数的概念69

3.微分概念71

4.哥西黎曼条件72

5.共轭调和函数76

6.幂级数的微分法77

7.指数函数、三角函数与双曲线函数78

8.单叶函数、反函数83

9.根式、对数函数与反正弦函数85

10.多值函数的分支、关于支点的概念85

11.黎曼曲面的概念95

5.保角映射101

1.导数的辐角的几何意义101

2.导数的模的几何义意104

3.保角映射104

4.第二类保角映射105

5.微分的几何意义108

6.映射w=f（z）的主要部分109

第二章习题111

第三章线性变换与其他的简单变换115

1.线性函数115

1.整线性函数115

2.函数w=？117

3.一般线性函数118

4.线性函数关于圆周的性质119

5.线性变换的参变数与不变量120

6.把上半平面变成自己的映射122

7.在线性变换下互相对称的点对的不变性124

8.把圆变成上半平面的映射125

9.圆变成自己的映射126

10.用对称映射来表示线性变换127

11.线性变换的不同类型128

12.重点的性质133

13.椭圆式变换的几何意义135

14.把圆变到自己的变换的特征136

2.线性变换与罗拔切夫斯基几何137

1.罗拔切夫斯基几何圆上的欧几里得图象137

2.给定附标的两点间非欧距离的计算法139

3.非欧几里得圆周140

4.曲线的非欧长度140

5.非欧几里德面积141

6.远环141

7.超环141

8.罗拔切夫斯基几何在半平面上的欧几里得图象142

9.圆周的非欧长度143

10.罗拔切夫斯基几何中的平行角144

11.圆与三角形的非欧几里得面积146

3.若干初等函数与这些函数构成的映射147

1.幂函数与根式147

2.指数函数与对数函数151

第三章习题154

第四章哥西定理、哥西积分156

1.复变积分156

1.复变积分的概念156

2.复变积分的基本性质159

3.一致收敛级数的积分法160

4.哥西定理161

2.哥西定理163

1.基本预备定理163

2.哥西定理证明的简化166

3.哥西定理的证明167

4.复数域中的不定积分概念170

5.哥西定理扩充到复闭路的情形174

6.对数函数176

7.预备定理179

8.哥西定理的推广182

3.哥西积分183

1.哥西公式183

2.哥西公式扩充到复闭路的情形185

3.哥西型积分187

4.区域内解析函数的一切高级导函数的存在性190

5.摩勒尔定理191

6.在解析函数理论的建立中的各种不同的观点192

7.哥西型积分的极限值193

8.当边界函数满足火伊尔德－立勃希兹条件吋哥西型积分的极限值199

9.波哇松积分206

第四章习题209

第五章解析函数项级数、解析函数的幂级数展开式211

1.一致收敛的解析函数项级数211

1.维尔斯脱拉斯第一定理211

2.戴劳积数216

1.维尔斯脱拉斯定理在幂级数上的应用216

2.解析函数的幂级数展开式218

3.全纯函数的概念以及它与解析函数概念的等价性222

4.解析函数的唯一性223

5.最大模原理227

6.解析函数的零点230

7.零点的级232

8.幂级数系数的哥西不等式232

9.里乌威尔定理233

10.维尔斯脱拉斯第二定理233

第五章习题234

第六章单值函数的孤立奇异点236

1.罗朗级数236

1.解析函数的罗朗展开式236

2.罗朗级数的正则部分与主要部分239

3.罗朗展开式的唯一性240

2.单值函数的奇异点的分类241

1.孤立奇异点的三种类型241

2.可去奇导点242

3.极点242

4.零点与极点间的联系243

5.本性奇异点245

6.函数在孤立奇异点邻域内的性质247

3.解析函数在无穷远点的性质248

1.无穷远点的邻域248

2.在无劣远点的邻域内的罗朗展开式249

3.函数在无穷远点邻域内的性质250

4.哥西型积分转化成哥西积分的条件251

4.最简单的解析函数族252

1.整函数252

2.半纯函数254

3.展开有理函数成部分分式255

4.代数基本定理255

5.在流体动力学中的应用256

1.无涡漩且无源泉的流体流体256

2.流动的特征函数258

3.绕过圆柱体的无环流流动259

4.纯环流261

5.一般情形262

第六章习题263

第七章残数理论267

1.残数的一般理论267

1.函数关于孤立奇异点的残数267

2.关于残数的基本定理268

3.函数关于极点的残数之计算269

4.函数关于无穷远点的残数271

5.积分？的计算272

2.残数理论的应用276

1.代数基本定理276

2.儒歇定理277

3.残数理论在定积分计算上的应用279

4.ctgz展开成简单分式284

第七章习题288

第八章无穷乘积与它对解析函数的应用289

1.无穷乘积289

1.收敛的与发散的无穷乘积289

2.无穷乘积收敛性的基本判别法291

3.全纯函数的无穷乘积表示法295

2.无穷乘积在整函数理论上的应用297

1.维尔斯脱拉斯公式297

2.整函数的无穷乘积表示法301

3.把半纯函数表作两个整函数之比303

4.米他格－列夫勒问题304

3.解析函数唯一性定理的推广305

1.解析函数唯一性定理可能的推广305

2.雅可比与靳生公式306

3.唯一性定理的证明308

4.对有界函数来说唯一性定理再进一步推广的不可能性310

第八章习题311

第九章解析开拓313

1.解析开拓的原理313

1.解析开拓的概念313

2.维尔斯脱拉斯意义下的完全解析函数的概念315

3.按照解析开拓原理在复数域上扩充实变函数319

2.例320

1.单值函数的例320

2.多值函数的例320

第九章习题322

第十章保角映射的一般原则324

1.确定保角映射的条件324

1.把单位圆变成它自己的映射324

2.确定保角映射的唯一性的条件326

2.保角映射理论的基本原则328

1.保存区域的原则328

2.双方单值对应的原则333

3.黎曼－希瓦尔兹对称原则335

4.对称原则的推广341

5.解析开拓的希瓦尔兹原则342

6.调和函数的对称原则343

7.对称原则的应用346

3.把单位圆变到一个内部区域的一般变换347

1.把圆｜z｜＜1变到一个内部区域的全纯函数的解析表达式347

2.希瓦尔兹预备定理350

3.应用希瓦尔兹预备定理来估计满足这个定理的条件的那些函数的导函数352

4.希瓦尔兹预备定理的一般形式354

5.变换的重点的存在性355

4.解析函数的唯一性356

1.由边界值来确定解析函数的唯一性356

2.唯一性定理的推广357

5.把二次曲线所包围的区域变成上半平面的保角映射359

1.等轴双曲线359

2.抛物线360

3.双曲线与椭圆365

4.把椭圆内部变成半平面的映射370

6.单连通区域的保角映射371

1.黎曼定理提法的化简373

2.辅助函数及其基本性质374

3.基本预备定理376

4.黎曼定理的证明377

7.在保角映射下边界的对应关系379

1.问题的提法382

2.关于边界对应的定理的证明383

8.把矩形与任意多角形变成上半平面的映射387

1.矩形387

2.雅可比椭圆函数392

3.多角形394

4.三角形401

5.把多角形的外部变成上半平面的映射405

第十章习题406