《复变函数论学习指导》

绪论1

第一章复数与复变函数4

1 复数及其代数运算4

(一)复数概念4

(二)复数的运算5

(三)复数的其它表示法及几何解释9

(四)平面点集16

(五)解题示范22

2 复变函数25

(一)复变函数概念25

(二)复变函数的几何表示27

(三)复变函数的极限30

(四)复变函数的连续35

(五)无穷远点37

(六)解题示范38

1 解析函数概念41

(一)导数定义41

第二章解析函数41

(二)C—R 条件43

(三)函数解析的概念47

(四)解析函数性质的初步讨论48

(五)共轭调和函数53

(六)解题示范56

2 初等解析函数60

(一)初等单值函数60

(二)初等多值函数68

(三)解题示范80

第三章复变函数的积分87

1 积分概念87

(一)积分定义87

(二)积分存在的条件89

(三)积分的计算90

(四)积分的性质93

(五)解题示范95

2 柯西积分定理96

(一)柯西积分定理96

(二)不定积分99

(三)复闭路情形下的柯西积分定理103

(四)解题示范105

3 柯西积分公式112

(一)引言112

(二)柯西积分公式112

(三)解析函数的无限次可微性116

(四)由柯西公式导出的几个定理120

(五)解题示范124

(一)复数项级数128

第四章台劳级数128

1 级数的基本概念128

(二)复变函数项级数131

(三)维尔斯特拉斯定理136

(四)幂级数137

(五)解题示范141

(六)阿贝尔第二定理143

2 解析函数的幂级数展开146

(一)台劳展式146

(二)初等函数的幂级数展开149

(三)函数的台劳展式收敛半径的确定151

(四)解题示范153

3 由解析函数的幂级数理论导出的几个定理159

(一)解析函数零点的孤立性159

(二)解析函数的唯一性161

(三)解析函数的最大模原理163

(四)解题示范165

(一)两端(或双边)幂级数169

1 罗朗级数169

第五章罗朗级数169

(二)罗朗级数171

(三)解题示范175

2 利用罗朗级数讨论孤立奇点179

(一)孤立奇点的概念179

(二)解析函数在孤立奇点的罗朗展开180

(三)孤立奇点的性质的进一步讨论182

(四)解题示范190

(一)解析函数在无穷远点的性质192

3 解析函数在无穷远点的性质192

(二)整函数与亚纯函数概念196

第六章残数理论及其应用200

1 残数基本定理与残数计算200

(一)残数定义200

(二)残数基本定理202

(三)残数的计算203

(四)解题示范206

(五)关于无穷远点的残数209

(一)关于 ∫?R(cosθ，sinθ)dθ 型积分的计算212

2 残数应用于实积分计算212

(二)关于广义积分的计算214

(三)多值函数的积分230

3 幅角原理及其应用237

(一)引言237

(二)对数残数239

(三)幅角原理242

(四)儒歇定理243

(五)应用246

第七章保形变换251

1 保形变换概念251

(一)导数的几何意义和保形变换概念251

(二)解析函数的保域性255

(三)单叶解析函数的保形性257

2 保形变换的基本问题260

(一)引言260

(二)保形变换的基本问题263

(三)边界对应原理268

3 线性变换272

(一)线性变换的分解272

(二)线性变换的保形性275

(三)线性变换的保圆性277

(四)线性变换的保对称点性281

(五)线性变换的保交比性284

(六)几种典型区域之间的保形变换286

(七)解题示范291

(一)初等函数的映射294

4 初等保形变换294

(二)二角形区域的保形变换298

(三)关于机翼剖面函数304

(四)解题示范310

第八章解析开拓317

1 对称原理317

(一)引言317

(二)对称原理的特殊形式318

(三)对称原理的一般形式321

(一)解析开拓的一般概念325

(四)弧对称原理与透弧开拓325

2 解析开拓的一般概念与幂级数法325

(二)完全解析函数与自然边界329

(三)幂级数法331

3 黎曼面概念334

(一)w=?z 的黎曼面334

(二)w=?z 的黎曼面336

(三)w=Lnz 的黎曼面337

(一)实分析中 Γ 函数的开拓338

4 Γ 函数338

(二)Γ 函数的基本性质340

5 多角形变换344

(一)上半平面到矩形的保形变换344

(二)上半平面到多角形的保形变换349

第九章调和函数356

1 调和函数的性质356

(一)均值公式356

(二)极值原理357

(三)波阿松公式358

2 狄里克莱问题359

(一)狄里克莱问题的提法359

(二)狄里克莱问题解的唯一性与稳定性360

(三)单位园内狄里克莱问题的解361

(四)上半平面内狄里克莱问题的解366

附录Ⅰ 柯西定理的古莎证明369

附录Ⅱ 本书主要内容示意图375

附录Ⅲ 各类人员试题解答选编376