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引言1

第一章 复数与复变函数3

1. 复数3

1. 复数域3

2. 复平面5

3. 复数的模与辐角6

4. 复数的乘幂与方根12

5. 共轭复数15

6. 复数在几何上的应用举例17

1. 平面点集的几个基本概念19

2. 复平面上的点集19

2. 区域与约当曲线20

3. 复变函数25

1. 复变函数的概念25

2. 复变函数的极限与连续性29

4. 复球面与无穷远点34

1. 复球面34

2. 扩充复平面上的几个概念35

第一章习题37

1. 复变函数的导数与微分43

第二章 解析函数43

1. 解析函数的概念与柯西-黎曼条件43

2. 解析函数及其简单性质45

3. 柯西-黎曼条件47

2. 初等解析函数54

1. 指数函数54

2. 三角函数与双曲函数56

3. 初等多值函数60

1. 根式函数60

2. 对数函数69

3. 一般幂函数与一般指数函数74

4. 具有多个有限支点的情形76

5. 反三角函数与反双曲函数82

第二章习题85

第三章 复变函数的积分92

1. 复积分的概念及其简单性质92

1. 复变函数积分的定义92

2. 复变函数积分的计算问题95

3. 复变函数积分的基本性质96

1. 柯西积分定理99

2. 柯西积分定理99

2. 柯西积分定理的古莎证明101

3. 不定积分107

4. 柯西积分定理的推广111

5. 柯西积分定理推广到复围线的情形113

3. 柯西积分公式及其推论115

1. 柯西积分公式115

2. 解析函数的无穷可微性118

3. 柯西不等式与刘维尔定理121

4. 摩勒拉定理123

5. 柯西型积分124

4. 解析函数与调和函数的关系125

5. 平面向量场--解析函数的应用(一)130

1. 流量与环量131

2. 无源、漏的无旋流动132

3. 复势133

第三章习题135

第四章 解析函数的幂级数表示法141

1. 复级数的基本性质141

1. 复数项级数141

2. 一致收敛的复函数项级数144

3. 解析函数项级数146

2. 幂级数147

1. 幂级数的敛散性147

2. 收敛半径的求法、柯西-阿达玛公式150

3. 幂级数和的解析性151

3. 解析函数的泰勒展式152

1. 泰勒定理152

2. 幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况155

3. 一些初等函数的泰勒展式157

4. 解析函数零点的孤立性及唯一性定理163

1. 解析函数零点的孤立性164

2. 唯一性定理166

3. 最大模原理169

第四章习题171

第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点177

1. 解析函数的罗朗展式177

1. 双边幂级数177

2. 解析函数的罗朗展式178

3. 罗朗级数与泰勒级数的关系181

4. 解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式183

2. 解析函数的孤立奇点186

1. 孤立奇点的三种类型186

2. 可去奇点187

3. 席瓦尔兹引理188

4. 板点190

5. 本性奇点192

6. 毕卡定理192

3. 解析函数在无穷远点的性质196

1. 整函数201

4. 整函数与亚纯函数的概念201

2. 亚纯函数202

5. 平面向量场--解析函数的应用(二)204

1. 奇点的流体力学意义204

2. 在电场中的应用举例206

第五章习题209

第六章 残数理论及其应用216

1. 残数216

1. 残数的定义及残数定理216

2. 残数的求法218

3. 函数在无穷远点的残数222

2. 用残数定理计算实积分225

1. 计算∫？R(cosθ，sinθ)dθ型积分225

2. 计算∫？dx型积分230

3. 计算∫？eimxdx型积分234

4. 计算积分路径上有奇点的积分237

5. 杂例238

6. 应用多值函数的积分242

3. 辐角原理及其应用250

1. 对数残数250

2. 辐角原理252

3. 儒歇定理256

第六章习题260

第七章 保形变换268

1. 解析变换的特性268

1. 解析变换的保域性268

2. 解析变换的保角性--导数的几何意义269

3. 单叶解析变换的保形性273

2. 线性变换276

1. 线性变换及其分解276

2. 线性变换的保形性280

3. 线性变换的保交比性281

4. 线性变换的保圆周(圆)性283

5. 线性变换的保对称点性284

6. 线性变换的应用286

3. 某些初等函数所构成的保形变换291

1. 幂函数与根式函数291

2. 指数函数与对数函数294

3. 由圆弧构成的两角形区域的保形变换295

4. 机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换297

5. 儒可夫斯基函数的单叶性区域301

4. 关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理302

1. 黎曼存在定理302

2. 边界对应定理305

第七章习题307

第八章 解析开拓314

1. 解析开拓的概念与幂级数开拓314

1. 解析开拓的概念314

2. 解析开拓的幂级数方法318

1. 透弧直接解析开拓324

2. 透弧解析开拓、对称原理324

2. 黎曼--席瓦尔兹对称原理325

3. 完全解析函数及黎曼面的概念331

1. 完全解析函数331

2. 单值性定理332

3. 黎曼面概念336

4. 多角形区域的保形变换341

1. 克利斯托弗-席瓦尔兹公式341

2. 退化情形346

3. 广义多角形举例350

第八章习题353

第九章 调和函数358

1. 平均值定理与极值原理358

1. 平均值定理358

2. 极值原理359

2. 波阿松积分公式与狄利克莱问题360

1. 波阿松积分公式360

2. 狄利克莱问题361

3. 单位圆内狄利克莱问题的解362

4. 上半平面内狄利克莱问题的解365

第九章习题368