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第一章 基本概念1

1. 微分方程及其解的定义1

2. 微分方程及其解的几何解释11

第二章 初等积分法18

1. 恰当方程18

2. 变量分离的方程24

3. 一阶线性方程30

4. 初等变换法37

4.1 齐次方程37

4.3 黎卡提方程40

4.2 伯努里方程40

5. 积分因子法44

6. 应用举例50

第三章 存在和唯一性定理60

1. 毕卡存在和唯一性定理60

2. 皮亚诺存在定理67

2.1 欧拉折线67

2.2 Ascoli引理70

2.3 皮亚诺存在定理71

3. 解的延伸76

4. 比较定理及其应用84

1.1 微分法94

第四章 奇解94

1. 一阶隐式微分方程94

1.2 参数法98

2. 奇解101

3. 包络105

4. 奇解的存在定理110

第五章 高阶微分方程114

1. 几个例子114

2. n维线性空间的微分方程129

3. 解对初值和参数的连续依赖性134

4. 解对初值和参数的连续可微性140

1. 一般理论149

第六章 线性微分方程组149

1.1 齐次线性微分方程组150

1.2 非齐次线性微分方程组156

2. 常系数线性微分方程组161

2.1 矩阵指数函数的定义和性质162

2.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵164

2.3 利用约当标准型求基解矩阵166

2.4 待定指数函数法169

3. 高阶线性微分方程182

3.1 高阶线性微分方程的一般理论183

3.2 常系数高阶线性微分方程187

4. 算子法和拉氏变换法简介196

4.1 算子法196

4.2 拉氏变换法205

第七章 微分方程的幂级数解法217

1. 柯西定理217

2. 幂级数解法224

3. 勒让德多项式229

4. 广义幂级数解法233

5. 贝塞尔函数243

1. 动力系统，相空间与轨线250

第八章 定性理论与分支理论初步250

2. 解的稳定性257

2.1 李雅普诺夫稳定性的概念257

2.2 按线性近似判断稳定性259

2.3 李雅普诺夫第二方法263

3.平面上的动力系统，奇点与极限环271

3.1 初等奇点272

3.2 极限环284

3.3 Liénard作图法285

3.4 Poinearè映射与后继函数法288

4.结构稳定与分支现象290

4.1 一个结构稳定性定理290

4.2 高阶奇点的分支292

4.3 Hopf分支293

4.4 Poinearè分支294

4.5 多重闭轨的分支295

4.6 同宿轨线的分支296

4.7 奇异量场的普适开折299

第九章 边值问题304

1. 斯托姆比较定理304

2. S-L边值问题的特征值311

3. 特征函数系的正交性318

4.一个非线性边值问题的例子325

5.周期边值问题330

第十章 首次积分334

1.首次积分的定义334

2.首次积分的性质340

3.首次积分的存在性345

4.大范围的首次积分348

第十一章 一阶偏微分方程353

1.一阶齐次线性偏微分方程353

2.一阶拟线性偏微分方程357

3.几何解释362

参考文献368

习题答案与提示370