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第一章 一般理论1

1. 预备定理2

1.1. Ascoli-Arzela(阿斯卡里-阿尔采拉)定理2

1.2. 不动点原理3

2. 解的局部存在性定理5

2.1. Picard逐次逼近法(压缩映象原理)6

2.2. Euler折线法(差分法)10

2.3. Schauder不动点方法16

2.4. Cauchy的优级数法18

2.5. 关于高阶方程解的存在性26

3. 解的延展性定理28

4. 微分(积分)不等式与比较定理34

4.1. 第一比较定理35

4.2. 最大解与最小解36

4.3. 微分(积分)不等式41

4.4. 第二比较定理44

4.5. 某些推广45

5. 非局部存在性定理50

6. 唯一性定理55

6.1. 问题的提出55

6.2. Kamke一般唯一性定理56

6.3. Kamke唯一性定理的一些推论58

6.4. 整体唯一性定理61

6.5. 解的唯一性与逐次逼近序列的关系62

7. 解对初值与参数的相依性63

7.1. 问题的提出63

7.2. 解对初值与参数的连续性65

7.3. 解对初值与参数的可微性68

8. Caratheodory关于解的存在与唯一性定理73

8.1. Caratheodory意义下解的概念74

8.2. 解的存在定理75

8.3. 解的唯一性定理80

9. Banach空间中的微分方程82

9.2. 关于解的存在性问题83

9.1. 初值问题的提法83

9.3. 关于解的唯一性问题87

10. 带滞后的泛函微分方程88

10.1. 前言88

10.2. 基本概念90

10.3. 基本定理91

第一章习题96

第二章 实域上的线性方程(组)103

1. 预备知识105

2. 线性组(方程)解的一般性质110

2.1. 解的存在唯一性定理110

2.2. 齐线性组解的性质111

2.3. 齐线性组的降阶113

2.4. 非齐次线性组解的性质115

2.5. 高阶线性方程116

3. 常系数线性组119

3.1. 矩阵的指数函数eX119

3.2. eAt的计算121

3.3. 常系数线性组解的结构122

4. 周期系数线性组·Floquet理论124

4.1. 矩阵的对数函数logX124

4.2. 周期系数线性组解的基本性质125

5. 可化组129

第二章习题131

第三章 复域上的线性方程(组)134

1. 正规齐次线性组134

1.1. 存在唯一性定理134

1.2. 推论137

1.3. 基本解矩阵137

2. 孤立奇异点138

2.1. 问题的提出138

2.2. 对数变换s=logz139

2.3. Cauchy方程组141

2.4. 解的定性结构142

2.5. 解的估值143

3. 奇异点的分类·Fuchs型方程组145

3.1. 有限奇异点145

3.2. 无限奇异点149

3.3. Fuchs型方程组150

4. 解的级数展开152

4.1. Banach空间Hδ152

4.2. 形式解·解的幂级数展开定理154

4.3. 空间Hδ(0<δ<γ)上的两个算子155

4.4. 解的幂级数展开定理的证明156

4.5. 某些推论158

4.6. 一般解的级数展开定理160

4.7. Banach空间Hqδ161

4.8. 引理163

4.9. 一般解的级数展开定理的证明164

4.10. 基本解组的建立166

5. 二阶线性方程171

5.1. 奇异点的分类171

5.2. 无限奇异点171

5.3. 例题172

5.4. 解的级数展开173

5.5. Fuchs型方程180

第三章习题188

1.1. 问题的提出190

第四章 边值问题与特征值问题190

1. Sturm-Liouville型边值问题190

1.2. Sturm边值问题192

1.3. 问题的转化195

1.4. Green(格林)函数197

1.5. S-L型边值问题解的积分表示200

2. 一般线性组的边值问题203

2.1. 解的存在唯一性定理203

2.2. Green矩阵204

2.3. 解的积分表示205

3.1. 问题的提出207

3. Sturm-Liouville特征值问题207

3.2. 特征值与特征函数的两个基本性质209

3.3. Prüfer变换211

3.4. 关于函数ψ的性质211

3.5. 特征值存在定理216

4. 希尔伯特(Hilbert)空间内的自共轭算子218

4.1. 内积空间218

4.2. 希尔伯特(Hilbert)空间219

4.3. 正规直交系和傅氏级数220

4.4. 有界、自共轭、紧致算子222

4.5. 紧致自共轭算子的特征值224

5.1. Sturm-Liouville型特征值问题的转化229

5. 按特征函数的展开定理229

5.2. 展开定理231

5.3. 展开定理的应用举例237

第四章习题240

第五章 定性理论基础243

1. 一般定性理论中的概念、问题和方法244

1.1. 定常系统及其解的基本性质245

2.2. 度量空间中的一些基本概念246

1.2. 常点247

1.3. 奇点249

1.4. 周期解、闭轨250

1.5. 轨道的极限集合252

习题254

2. 不切线段及其性质255

习题262

3. Poincare-Bendixson定理263

习题269

4. 在闭轨附近的轨道分布269

4.1. 关于极限环的存在性、唯一性等问题270

4.2. 在闭轨附近的轨道分布·极限环的几何分类280

习题283

5. 在奇点附近轨道的分布284

5.1. 奇点的几何分类284

5.2. 在初等奇点附近轨道的分布287

习题299

6. 稳定性理论中的概念、问题和方法300

6.1. 问题的提出300

6.2. 稳定性的定义301

6.3. 稳定性理论中的问题和方法306

6.4. 辅助函数306

6.5. 函数V符号性质的判别准则308

习题309

7. A. M.Ляпунов第二方法的基本定理310

7.1. 稳定性定理311

7.2. 不稳定性定理312

7.3. 渐近稳定性定理315

习题322

8. 应用举例323

9. 按首次近似决定的稳定性326

9.1. 问题的提出326

9.2. 常系数线性组零解的稳定性327

9.3. 一个辅助定理327

9.4. 常系数线性组函数V的存在性329

9.5. 按首次近似决定的稳定性332

9.6. 临界情况下稳定性问题简介336

习题337

10. 稳定性理论中的比较方法338

习题341

附录1 点集论中的一些记号和概念343

1.1. 集和集的运算343

附录343

1.2. 映象(变换、函数或算子)344

附录2 度量空间345

2.1. 定义345

2.3. 完备的度量空间347

2.4. 连通的度量空间348

2.5. 紧致的度量空间349

3.1. 线性空间350

附录3 有模线性空间·Banach空间350

3.2. 线性子空间351

3.3. 有模线性空间352

3.4. 有限维有模线性空间355

3.5. 线性算子357

附录4 不动点原理358

4.1. Banach压缩映象原理358

4.2. Brouwer(布劳维尔)不动点定理359

4.3. Schauder不动点定理364

附录5 代数学上的两个重要定理的证明369

参考文献378