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1.1 ？合的运算1

一、基本概念1

第一章 函数 极限 连续1

二、运算规则3

习题4

1.2 一元函数4

一、实数集4

二、映射7

三、函数8

四、函数的几何特性11

五、反函数13

六、复合函数16

习题19

一、极限的概念21

1.3 函数的极限21

二、极限的运算与性质29

习题32

1.4 连续函数33

一、连续的概念33

二、连续函数的运算及性质35

三、间断点的分类36

四、闭区间上连续函数的性质37

习题38

1.5 无穷小量40

一、无穷小量的概念40

二、无穷小量的阶42

习题44

一、物理、生物、化学中的几个实例46

2.1 导数的概念46

第二章 导数与微分46

二、导数的定义及几何意义47

三、若干基本公式50

习题52

2.2 导数的计算52

一、导数的四则运算52

二、反函数的导数54

三、复合函数的导数56

四、隐函数的求导法则59

五、由参数方程所确定的函数的求导法则60

六、高阶导数61

习题63

一、微分的概念及其几何意义65

2.3 微分及其应用65

二、微分的运算67

三、微分的应用69

四、弧长的微分71

习题72

第三章 导数的应用74

3.1 微分学基本定理74

一、费马(Felmat)引理74

二、罗尔(Rolle)定理75

三、拉格朗日(Lagrange)中值定理76

四、柯西(Cauchy)中值定理77

习题78

3.2罗必塔 (L′Hospital)法则79

一、0/0待定型79

二、∞/∞待定型82

三、其它待定型83

习题85

3.3 函数的单调性与极值86

一、函数的单调性86

二、函数的极值90

三、最大值与最小值及其在化学、生物中的应用93

习题96

3.4 函数图形的特性与描绘98

一、曲线的凹凸与拐点98

二、曲线的渐近线101

三、函数图形的描绘102

习题106

4.1 不定积分的概念和性质107

一、原函数与不定积分107

第四章 不定积分107

二、基本积分公式108

三、不定积分的性质110

习题114

4.2 基本积分方法115

一、换元积分法115

二、分部积分法118

习题120

4.3 某些积分技巧122

一、有理分式函数积分的部分分式法122

二、三角函数有理式的积分128

习题132

第五章 定积分134

5.1 定积分的概念与性质134

一、定积分的定义134

二、积分上限为变数的定积分135

三、定积分的几何意义136

四、定积分的基本性质138

五、求和问题与定积分141

习题144

5.2 定积分的计算144

一、定积分的换元法145

二、定积分的分部积分法146

三、定积分的近似计算147

习题151

5.3 定积分的应用151

一、平面图形的面积152

二、平行截面的面积为已知的立体的体积154

三、弧长156

四、平均值、功及其它159

习题163

5.4 广义积分164

一、连续函数在无限区间上的积分164

二、无界函数的积分167

习题168

第六章 级数170

6.1 数列的极限170

一、数列极限的概念170

二、数列极限的性质174

习题179

6.2 数项级数180

一、数项级数的收敛与发散181

二、正项级数184

三、任意项级数187

习题190

一、幂级数的特性192

6.3 幂级数192

二、函数的幂级数展开196

习题200

6.4 傅里叶级数202

一、三角函数系的正交性202

二、函数的傅里叶(Fourier)级数展开203

习题212

第七章 空间解析几何214

7.1 空间直角坐标系214

一、坐标的概念214

二、两点间的距离215

习题216

7.2 向量代数216

一、向量及其表示216

二、向量的线性运算217

三、向量的坐标219

四、向量的内积与外积221

习题225

一、平面的方程225

7.3 平面与直线226

二、直线的方程229

三、平面与直线间的相互关系231

习题232

7.4 曲面与曲线233

一、曲面及其方程233

二、二次曲面236

三、曲线的方程242

习题244

一、多元函数的概念246

8.1 多元函数的极限与连续246

第八章 多元函数的微分学246

二、邻域247

三、多元函数的极限248

四、二元函数的连续性250

习题251

8.2 偏导数与全微分251

一、偏导数的概念251

二、偏导数的几何意义253

三、全微分254

四、可微分与可偏导的关系255

五、全微分的应用257

六、高阶偏导数与高阶全微分258

习题259

一、复合函数的偏导数261

8.3 复合函数的偏导数及隐函数的求导法261

二、由F(x,y,z)=0所确定的隐函数的求导法则265

三、由方程组所确定的隐函数的求导法则267

习题269

8.4 多元函数的极值271

一、极值存在的必要条件及充分条件271

二、最大值与最小值275

三、条件极值与拉格朗日乘数法276

四、玻尔兹曼(Boltzmann)分布律的推导280

习题282

8.5 偏导数的若干应用282

一、空间曲线的切线与法平面282

二、曲面的切平面与法线284

三、方向导数286

四、梯度288

习题289

第九章 二重积分与曲线积分290

9.1 二重积分290

一、二重积分的定义290

二、二重积分的性质293

三、二重积分的计算294

四、利用极坐标计算二重积分300

五、Γ函数的计算及其在化学、生物学中的应用305

习题306

9.2 曲线积分308

一、第一类曲线积分的概念和计算308

二、第二类曲线积分310

三、第二类曲线积分与路径无关的条件315

习题322

10.1 基本概念325

第十章 常微分方程325

习题328

10.2 一阶常微分方程329

一、变量可分离方程329

二、一阶齐次微分方程333

三、一阶线性微方分程335

四、恰当方程337

五、欧拉方法338

六、一阶微分方程在力学、生物学、化学中的应用举例340

习题345

10.3 二阶常微分方程347

一、降阶法347

二、二阶线性微分方程349

三、二阶常系数线性齐次方程351

四、二阶常系数非齐次线性方程353

五、欧拉方程360

习题362

第十一章 概率论初步364

11.1 随机事件及其概率364

一、随机事件364

二、事件间的关系及其运算365

三、频率与概率366

四、古典概型及其在统计物理中的应用368

五、条件概率及其在生物学中的应用370

六、全概率公式371

七、贝叶斯(Bayes)公式373

八、随机事件的独立性374

九、独立试验序列376

习题377

一、随机变量的概念378

11.2 随机变量及其分布378

二、离散型随机变量及其概率分布379

三、连续型随机变量381

四、分布函数382

五、两个重要的连续型分布383

六、多维随机变量386

习题392

11.3 随机变量的数字特征393

一、数学期望及其在生物学中的应用393

二、方差与均方差396

三、三个常用分布的数学期望与方差398

四、二维随机变量的数字特征400

习题402

附表404

习题答案407