《高等数学》

第一节函数1

目 录第一章 函数极限连续1

一、函数的概念（1） 二、函数的几种特性（4） 三、初等函数（5） 习题1-17

第二节极限8

一、数列的极限（9） 二、函数的极限（13） 三、无穷小与无穷大（19） 习题1—2（1） （22） 四、极限运算法则（23） 五、极限存在准则两个重要极限（28） 六、无穷小的比较31

习题1—2（2）34

第三节函数的连续性35

一、函数连续性的定义（36） 二、间断点（38） 三、初等函数的连续性（41）四、闭区间上连续函数的性质（42） 习题1—343

第一章复习题45

第一节导数的概念48

第二章导数、微分及其应用48

一、导数的定义（48） 二、求导数举例（51） 三、导数的几何意义（54） 四、可导与连续的关系（55）习题2—156

第二节函数的求导法则57

一、导数的四则运算法则（57） 二、复合函数的求导法则60

习题2—2（1）（65）三、反函数求导法则（67） 四、初等函数的导数（69）习题2—2（2）70

第三节高阶导数72

习题2—375

第四节微分76

一、微分的定义（76） 二、微分的几何意义（78） 三、微分的运算法则（79） 四、微分在近似计算中的应用（81） 习题2—482

第五节 中值定理84

第六节罗必塔法则87

习题2—587

一、0/0型和∞/∞型未定式（88） 二、其它类型未定式（91）习题2—693

第七节导数的应用94

一、函数单调性判别法（95） 二、函数的极值及其求法98

三、最大值、最小值问题（102） 习题2—7（1） （105） 四、曲线的凹向与拐点（107） 五、函数图形的描绘（110）习题2-7（2）113

第八节曲率114

一、弧微分（114） 二、曲率（115）三、曲率圆与曲率半径118

习题2—8119

第二章复习题120

第三章 积分学123

第一节不定积分的概念与性质123

一、原函数与不定积分的概念（123） 二、基本积分表与不定积分的性质（125）习题3—1128

第二节不定积分的换元积分法和分部积分法129

一、换元积分法（130）习题3—2（1）（140）二、分部积分法142

习题3—2（2）（146）三、积分表的使用法（147） 习题3—2（3）149

第三节定积分的概念与基本性质149

一、两个实际例子（149） 二、定积分定义（153） 三、定积分的基本性质（155） 习题3—3160

第四节定积分的计算法 （162 ）一、微积分基本公式（162） 习题3—4（1）（164）二、定积分的换元法（165） 三、定积分的分部积分法（169） 习题3—4（2）172

第五节无穷积分174

习题 （3—5）177

第六节定积分的应用178

一、微元法（178）二、定积分的几何应用（179）习题3—6（1）188

三、定积分的物理应用举例（189）四、函数的平均值192

习题3—6（2）193

第三章复习题194

第四章微分方程197

第一节微分方程的基本概念197

习题4—1200

第二节一阶微分方程201

一、可分离变量的微分方程（201）二、一阶线性微分方程206

习题4—2210

第三节两种特殊类型的二阶微分方程211

一、y″=f（x,y′）型的微分方程（211） 二、y″=f(y,y′)型的微分方程（212） 习题4—3213

第四节二阶常系数线性微分方程214

一、二阶常系数线性齐次微分方程（214）二、二阶常系数线性非齐次微分方程（221） 习题4—4225

第四章复习题227

第五章多元函数微积分229

第一节空间图形及其研究229

一、空间解析几何的基本概念（229）二、柱面方程（234） 三、平面方程（235） 四、空间曲线的方程（238）五、旋转曲面（240）六、用截痕法讨论曲面形状的举例（242） 习题5—1244

第二节二元函数的基本概念245

一、二元函数的概念（245） 二、二元函数的极限与连续性248

习题5—2251

第三节偏导数与全微分252

一、偏导数的定义与计算法（252） 二、高阶偏导数（257） 三、全微分（258） 四、多元复合函数的求导法则（261）五、隐函数的求导公式（267）习题5——3269

第四节多元函数的极值271

一、多元函数的极值、最大值与最小值（271）二、条件极值277

*三、最小二乘法简单介绍（278） 习题5—4283

第五节二重积分283

一、二重积分的概念与性质（284） 二、二重积分的计算289

习题5—5310

第五章复习题312

第六章无穷级数315

第一节常数项级数的概念与性质315

一、常数项级数的概念（315） 二、级数收敛的必要条件318

三、常数项级数的几个基本性质（320） 习题6—1321

第二节常数项级数的审敛法322

一、正项级数及其审敛法（323） 二、交错级数及其审敛法329

三、任意项级数、绝对收敛（330） 习题6—2331

第三节幂级数333

一、幂级数及其收敛区间（333）二、幂级数的运算（338）三、泰勒公式与泰勒级数（340） 四、函数的幂级数展开式（348） 五、函数幂级数展开式的应用（352）习题6—3355

第四节傅里叶级数357

一、三角级数、三角函数系的正交性（357） 二、函数展开成傅里叶级数（359）三、偶函数与奇函数的傅氏级数（367） 四、在区间〔？,π〕上将函数展开成正弦级数或余弦级数（371）五、周期为2L的周期函数的傅里叶级数（374） 习题6—4377

第六章复习题379

附录一希腊字母382

初等数学常用公式382

附录二一些常用的平面曲线、空间曲面和立体图形386

附录三简易积分表393

习题答案403