《高等数学》

第一章函数与极限1

第一节函数1

一、变量与区间1

二、函数概念3

三、函数的几种特性10

四、初等函数16

习题1-120

第二节极限28

一、数列的极限28

二、函数的极限33

三、函数的单侧极限39

习题1-241

第三节无穷小及其运算42

一、无穷小42

二、无穷大43

三、无穷小与无穷大的关系45

四、无穷小的运算47

五、无穷小的比较49

习题1-351

第四节极限运算52

一、极限的四则运算52

二、两个重要极限57

习题1-463

第五节函数的连续性与间断点65

一、函数的连续性65

二、函数的间断点69

三、初等函数的连续性72

四、闭区间上连续函数的性质76

习题1-578

第二章导数及其应用82

第一节导数概念82

一、求变化率的基本分析方法82

习题2-1（1）86

二、导数的定义及基本初等函数的求导公式87

习题2-1（2）96

三、导数的几何意义98

习题2-1（3）100

四、函数的可导性与连续性的关系101

习题2-1（4）104

第二节求导数的基本规律105

一、函数的和、差、积、商的求导法则105

习题2-2（1）111

二、复合函数求导数（隐函数求导数，对数求导法）113

习题2-2（2）120

三、反函数求导数123

习题2-2（3）125

四、参数方程及其导数125

习题2-2（4）129

五、高阶导数131

习题2-2（5）134

第三节中值定理未定式135

一、中值定理135

习题2-3（1）145

二、未定式与罗必塔法则145

习题2-3（2）153

第四节函数的单调性、凹凸性函数图象155

一、函数单调性判别法与函数极值求法155

习题2-4（1）165

二、最大值与最小值问题167

习题2-4（2）173

三、函数图形的凹凸性函数作图174

习题2-4（3）182

第五节函数的微分及其应用183

一、微分的定义183

二、微分的几何意义186

三、微分运算的基本规律186

四、微分在近似计算中的应用190

习题2-5194

第六节曲率196

习题2-6202

第三章积分及其应用204

第一节不定积分的概念与性质204

一、原函数204

二、不定积分206

三、不定积分的几何意义207

四、基本积分公式208

五、不定积分的性质211

第二节不定积分的计算方法212

一、直接积分法212

习题3-2（1）215

二、第一类换元法216

习题3-2（2）226

三、第二类换元法228

习题3-2（3）239

四、分部积分法240

习题3-2（4）254

五、积分表的使用256

习题3-2（5）260

第三节定积分的概念与性质261

一、两个实例261

二、定积分的定义265

三、定积分的几何意义268

习题3-3（1）272

四、定积分的性质中值定理274

习题3-3（2）278

第四节微积分基本公式278

一、积分上限函数279

二、牛顿－莱布尼兹公式282

习题3-4286

第五节定积分的分部积分法和换元法288

一、定积分的分部积分法288

二、定积分的换元法290

习题3-5293

第六节定积分的应用295

一、定积分在几何上的应用295

习题3-6（1）311

二、定积分在物理上的应用313

习题3-6（2）320

三、定积分的近似计算321

习题3-6（3）329

第七节广义积分330

一、积分区间为无穷区间的广义积分330

二、被积分函数有无穷型间断点的广义积分333

习题3-7336

第四章二元函数的微积分学338

第一节向量代数338

一、向量的概念338

二、向量坐标343

三、数量积与向量积349

习题4-1352

第二节曲面与曲线355

一、平面方程355

二、直线方程360

三、曲面363

四、曲线367

五、几种常用的二次曲面369

习题4-2372

第三节二元函数及其微分法374

一、二元函数的基本概念374

二、偏导数376

三、全微分383

四、复合函数的求导法则386

五、隐函数求导公式391

习题4-3393

第四节二元函数微分学的应用395

一、偏导数在几何上的应用395

二、二元函数的极值与最大、最小值400

习题4-4406

第五节二重积分407

一、二重积分的概念与性质408

二、二重积分的计算方法412

三、二重积分的应用421

习题4-5425

第六节曲线积分428

一、对弧长的曲线积分428

二、对坐标的曲线积分433

三、格林公式及其应用438

习题4-6443

第五章无穷级数445

第一节常数项级数445

一、数项级数及其收敛定义445

二、级数收敛的必要条件449

第二节 正项级数及其审敛法453

第三节 交错级数及其审敛法460

第四节任意项级数及其审敛法462

习题5-1465

第五节幂级数468

一、幂级数及其收敛域469

二、幂级数的运算性质472

习题5-2477

第六节把函数展成幂级数478

一、为什么要把函数展成幂级数478

二、函数展成幂级数的一般方法479

第七节幂级数在近似计算中的应用489

习题5-3492

第八节三角级数493

一、三角函数系的正交性494

二、把周期为2π的函数展成傅立叶级数495

三、奇函数与偶函数的傅立叶级数500

四、把周期为2l的函数展成三角级数503

习题5-4508

第六章微分方程509

第一节微分方程的基本概念509

习题6-1514

第二节可分离变量的一阶方程515

习题6-2523

第三节一阶线性微分方程525

习题6-3535

第四节全微分方程536

习题6-4540

第五节可降阶的二阶微分方程540

一、y″=f(x)型的微分方程541

二、y″=f(x,y)型的微分方程542

三、y″=f(y,y′)型的微分方程546

习题6-5547

第六节二阶常系数齐次线性微分方程548

习题6-6564

第七节二阶常系数非齐次线性微分方程565

一、f(x)=Pm(x)型566

二、f(x)=eλxPm(x)型569

三、f(x)=eλx〔Pl(x)cosωx＋Pm(x)sinωx〕型571

习题6-7576

习题答案578

附表积分表624