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第一章基本概念1

1引入常微分方程的几个实例1

习题一7

2常微分方程的一些基本概念7

2.1 方程的阶,线性方程和非线性方程7

2.2 方程的解,初值条件,特解和通解9

2.3 线素场——方程的几何意义12

习题二16

本章小结17

复习题18

第二章初等积分法20

1变量分离的方程,齐次方程20

1.1 变量分离的方程20

1.2 齐次方程25

习题一29

2一阶线性方程,伯努利方程30

2.1 一阶线性方程与常数变易法30

2.2 伯努利方程37

习题二38

3全微分方程,积分因子40

3.1 微分方程与线素场概念的扩充40

3.2 全微分方程43

3.3 积分因子51

习题三57

4一阶显式方程的解法综合举例57

习题四66

5一阶隐式方程66

5.1 可解出dy/dx的方程66

5.2 克莱罗方程70

5.3 奇解75

5.4 y=?(x,dy/dx)型方程和x=ψ(y,dy/dx)型方程的解法举例76

习题五80

6几种可降阶的二阶方程81

6.1 d2y/dx2=f(x)型方程81

6.2 d2y/dx2=f(x,dy/dx)型方程82

6.3 d2y/dx2=f(y,dy/dx)型方程84

习题六86

7应用实例86

习题七96

本章小结96

复习题97

第三章一阶微分方程的基本理论100

1初值问题解的存在唯一性100

1.1 毕卡逐次逼近法与存在唯一性定理100

1.2 初值问题解的存在性和唯一性的讨论116

习题一121

2解的延展121

2.1 延展的概念121

2.2 延展定理126

2.3 贝尔曼不等式引理131

2.4 非局部存在性定理133

习题二136

3解对初值和解对参数的连续依赖性和可微性137

3.1 解对初值的连续依赖性定理137

3.2 解对初值的可微性定理145

3.3 解对参数的连续依赖性和可微性定理148

习题三150

本章小结151

复习题152

第四章线性微分方程155

1线性微分方程的一般理论155

1.1 初值问题解的存在唯一性定理的叙述155

1.2 齐次线性方程的通解结构的基本理论157

1.3 非齐次线性方程的通解结构166

习题一171

2常系数齐次线性方程的解法173

2.1 特征方程的根都是单根的情形174

2.2 一般情形180

习题二186

3常系数非齐次线性方程的解法187

3.1 f(x)=Pm(x)eμx的情形188

3.2 f(x)=Pm(x)eμx cosvx和f(x)=Pm(x)eμx sinvx的情形195

习题三199

4变系数线性方程199

4.1 求非齐次线性方程解的常数变易法199

4.2 欧拉方程206

4.3 幂级数解法举例208

习题四216

5回路振荡217

习题五221

本章小结221

复习题223

第五章常微分方程组225

1预备知识225

1.1 矩阵函数与向量函数225

1.2 矩阵和向量的模229

1.3 矩阵函数级数和向量函数级数232

习题一236

2微分方程组的一般理论237

2.1 微分方程组的一般概念237

2.2 一阶方程组的解的基本理论242

习题二243

3线性微分方程组的一般理论245

3.1 一阶齐次线性方程组的解的理论246

3.2 一阶非齐次线性方程组的解的理论与常数变易法259

习题三267

4常系数线性方程组的解法269

4.1 eAt270

4.2 特征方程的根都是单根的情形274

4.3 一般情形281

4.4 常系数非齐次线性方程组的解法301

习题四301

本章小结303

复习题305

第六章定性理论与稳定性理论初步307

1二维自治系统与相平面307

习题一316

2平面奇点317

2.1 二维线性系统的轨线分布318

2.2 二维非线性系统在奇点邻域内轨线的分布329

习题二335

3极限环336

习题三339

4李雅普诺夫稳定性340

4.1 稳定性概念340

4.2 一次近似理论345

习题四356

5自治系统的李雅普诺夫第二方法358

习题五366

本章小结367

复习题369

第七章一阶偏微分方程371

1一阶常微分方程组的首次积分371

习题一389

2一阶线性齐次偏微分方程390

习题二396

3一阶拟线性偏微分方程396

习题三410

本章小结411

复习题412

总复习题413

习题答案419

索引440

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