《常微分方程数值解》

第一章绪论1

§1引言1

目录1

§2构造数值方法的几种基本方法2

2.1离散化2

2.2用差商代替微商3

2.3Taylor展开法3

2.4数值积分法4

2.5待定常数法5

§3解常微分方程的数值方法主要研究的问题6

1.1插值方法8

第二章预备知识8

§1代数插值8

1.2Lagrange和Newton插值多项式9

1.3插值余项12

1.4有限差分及等距节点上的插值公式12

§2数值积分的概念15

§3非线性方程求根的简单迭代法17

3.1简单迭代法18

3.2简单迭代法的收敛性18

3.3方程式的等价变形及几种常用简单迭代程序20

§1引言21

第三章解常微分方程初值问题的单步法21

§2Euler方法22

2.1Euler方法的构造及算法22

2.2Euler方法的误差及误差估计25

2.3Euler方法的稳定性28

§3Euler方法的变形和改进29

3.1梯形公式29

3.2Heun公式与中点公式31

§4高精度的单步方法——Runge-Kutta法33

4.1Taylor级数法33

4.2Runge-Kutta法的思想34

4.3Runge-Kutta法35

§5单步法的一般理论42

5.1相容性、收敛性和误差估计42

5.2单步方法的稳定性46

习题48

第四章解常微分方程初值问题的50

线性多步方法50

§1引言50

§2Adams插值方法50

2.1利用数值积分推导Adams外插公式50

2.2Adams外插公式的局部截断误差估计53

2.3Adams内插公式55

§3线性多步方法——一般的插值57

§4预估-校正方法61

4.1预估-校正算法61

4.2预估-校正算法的截断误差分析63

4.3几种常用的预估-校正算法66

§5线性多步方法的一般理论68

5.1线性差分方程的几个理论结果68

5.2局部截断误差和相容性概念73

5.3稳定性和误差估计78

5.4绝对稳定性概念84

习题95

第五章一阶常微分方程组与刚性问题97

的数值方法97

§1一阶常微分方程组的数值解法97

1.1一阶常微分方程组的初值问题数值解98

1.2高阶常微分方程的数值解103

§2刚性方程组及其几个理论结果106

§3解刚性方程组的几种数值方法111

3.1Gear方法111

3.2隐式Runge-Kutta法112

习题120

第六章加速收敛的外推算法及其对122

常微分方程初值问题的应用122

§1外推算法的基本概念122

§2多项式外推算法128

§3有理式外推算法132

§4外推算法对求解常微分方程初值问题的应用134

4.1提高数值解的精度134

4.2利用外推法估计数值解的误差主项和步长选择135

§5渐近展开式的存在性138

§6求解常微分方程初值问题的GBS方法141

§7外推算法的实现145

习题148

第七章常微分方程边值问题的数值解149

§1引言149

§2线性两点边值问题的打靶法152

§3非线性边值问题的打靶法157

§4多重打靶法160

§5样条函数配点法164

§6多项式级数求解线性两点边值问题167

习题177

主要参考文献178