《微分方程数值方法》求取 ⇩

第一部分常微分方程的数值解法2

第1章 常微分方程初值问题2

1.1 基本概念Euler法与梯形法3

1.1.1 Eu1er法3

1.1.2 梯形法8

1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法10

1.2.1 RK方法的构造11

1.2.2 单步方法的相容性与收敛性20

1.2.3 RK方法的应用24

1.3 线性多步方法25

1.3.1 线性多步方法的构造26

1.3.2 线性多步方法的应用32

1.4 线性差分方程的基本知识36

1.4.1 一般性质36

1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组37

1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质40

1.5 一般多步方法的收敛性42

1.5.1 多步方法的收敛性42

1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果47

1.6 数值稳定性51

1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性51

1.6.2 绝对稳定区间的确定56

1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性58

1.7 一阶方程组与刚性问题60

1.7.1 一阶方程组60

1.7.2 刚性问题63

本章小结与补充讨论68

习题69

主要参考书目72

第二部分偏微分方程的差分方法75

第2章 椭圆型方程75

2.1 常微分方程两点边值问题的差分格式76

2.1.1 用差商代替导数的方法77

2.1.2 积分插值法81

2.1.3 边界条件的处理82

2.2 椭圆型方程边值问题的差分格式84

2.2.1 矩形网格剖分85

2.2.2 矩形域上的Poisson方程86

2.2.3 Neumann问题89

2.2.4 矩形域上混合边界条件90

2.2.5 非矩形域上非正则内点的处理93

2.2.6 变系数自共轭方程的情形94

2.2.7 用积分插值法构造差分格式96

2.3 极值原理与差分格式的收敛性99

2.3.1 线性椭圆型差分方程的一般形式99

2.3.2 极值原理及差分格式之解的先验估计101

2.3.3 五点格式的稳定性与收敛性106

2.4.1 记号，若干差分公式与不等式110

2.4 能量估计与差分格式的收敛性110

2.4.2 差分算子的特征值与特征函数112

2.4.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性116

2.4.4 二阶自共轭椭圆型方程边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性120

2.5 交替方向迭代法125

2.5.1 模型问题125

2.5.2 Peaceman-Rachford迭代格式127

2.5.3 PR迭代格式中迭代参数的选择129

2.5.4 其它交替方向迭代格式134

2.6 Buneman约简方法136

2.7 预处理共轭斜量法144

本章小结与补充讨论148

习题149

第3章 抛物型方程152

3.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式153

3.1.1 常系数热传导方程的古典格式154

3.1.2 变系数方程的差分格式160

3.2 差分格式的稳定性与收敛性163

3.2.1 差分格式的稳定性163

3.2.2 差分格式的相容性与收敛性170

3.3.1 矩阵方法的一般讨论172

3.3 稳定性研究中的矩阵方法172

3.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性175

3.3.3 第三边值问题差分格式的稳定性181

3.4 稳定性研究中的分离变量法184

3.4.1 分离变量法的一般讨论184

3.4.2 对多个空间变量情形的应用188

3.4.3 对三层格式的应用191

3.5 用能量估计方法分析热传导方程差分格式的稳定性197

3.5.1 热传导系数与时间无关的情形197

3.5.2 热传导系数与时间相关的情形201

3.6 差分格式的单侧逼近性质及其应用208

3.7 交替方向隐格式及相关的格式214

3.7.1 PR格式215

3.7.2 Douglas格式218

3.7.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法221

3.7.4 局部一维格式与预测-校正格式222

本章小结与补充讨论226

习题228

第4章 双曲型方程233

4.1 一阶线性双曲型方程的差分格式234

4.1.1 一阶常系数方程初值问题234

4.1.2 一阶常系数方程初边值问题243

4.1.3 一阶变系数方程初边值问题248

4.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式250

4.3 二阶线性双曲型方程的差分格式254

4.3.1 一维波动方程254

4.3.2 二阶变系数线性方程261

4.3.3 二维波动方程264

4.4 交替方向隐格式267

本章小结与补充讨论273

习题274

主要参考书目277

第三部分偏微分方程的有限元方法280

第5章 边值问题的变分原理280

5.1 古典变分法的一些概念280

5.1.1 泛函的极值与Euler方程280

5.1.2 自然边界条件288

5.1.3 多个自变量的情形290

5.1.4 自然边界条件(续)294

5.2 边值问题的变分原理298

5.2.1 边值问题与最小位能原理298

5.2.2 虚功原理301

5.2.3 边值问题与变分问题的等价性303

5.2.4 内边界条件304

5.3 Sobolev空间与广义解307

5.3.1 广义导数308

5.3.2 Sobolev空间314

5.3.3 广义解的存在性和唯一性316

5.4.1 Ritz方法325

5.4 变分近似法325

5.4.2 Galerkin方法327

5.4.3 投影定理328

本章小结与补充讨论331

习题332

第6章 有限元方法的基本结构336

6.1 两点边值问题的有限元方法337

6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程337

6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程348

6.2 二维边值问题的有限元方法355

6.2.1 三角剖分与分片插值356

6.2.2 单元分析与总体合成362

6.2.3 积分的计算369

6.2.4 本质边界条件的处理374

6.2.5 有限元方程的求解378

6.2.6 有限元方法的一般过程382

本章小结与补充讨论383

习题384

附录：数值积分公式386

7.1.1 引言388

第7章 有限元方法的几个问题388

7.1 形状函数与有限元空间388

7.1.2 一维高次元的形状函数393

7.1.3 一维Hermite型的形状函数400

7.1.4 二维矩形单元的形状函数405

7.1.5 二维三角形单元的形状函数413

7.1.6 等参数单元421

7.1.7 三维情形429

7.1.8 单元形状函数小结434

7.2.1 引言435

7.2 收敛性与误差估计435

7.2.2 Sobolev空间中的插值理论437

7.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计448

7.3 抛物型方程的有限元方法453

7.3.1 引言453

7.3.2 半离散的有限元方程458

7.3.3 全离散的有限元方程461

本章小结与补充讨论463

习题464

主要参考书目465