《数值分析方法》求取 ⇩

1导引1

1．1 数值分析方法的内容1

1．2 误差3

1．2．1 误差概念3

1．2．2 误差来源5

1．2．3 误差的改善6

1．2．4 有效数字8

2插值9

2．1 插值概念9

2．1．1 插值定义9

2．1．2 插值函数的存在唯一性10

2．2．1 多项式插值14

2．2 多项式插值、插值的Lagrange型式14

2．2．2 多项式插值的Lagrange型式15

2．2．3 多项式插值的误差18

2．3 多项式插值的Newton型式21

2．3．1 差商、差商表21

2．3．2 多项式插值的Newton型式23

2．4 等距Newton插值27

2．4．1 差分、差分表27

2．4．2 等距节点的多项式插值Newton型式27

2．5 Hermite插值32

2．5．1 Hermite插值32

2．5．2 二重密切Hermite插值多项式33

2．6．1 Runge现象36

2．6 分段低阶插值36

2．6．2 分段线性插值37

2．6．3 分段三次Hermite插值38

2．7．1 三次样条函数与三次样条插值40

2．7 三次样条插值41

2．7．2 三次样条插值的m关系式41

2．7．3 三次样条插值的M关系式44

2．7．4 样条插值求解47

2．7．5 样条插值的极性及收敛性48

习题52

3．1 正交多项式55

3．1．1 权函数与函数模，正交多项式55

3最佳平方逼近55

3．1．2 正交多项式性质57

3．1．3 正交多项式举例58

3．2 函数最佳平方多项式逼近60

3．2．1 平方逼近60

3．2．2 最佳平方逼近多项式62

3．3 曲线的多项式拟合65

3．3．1 曲线拟合、多项式曲线拟合65

3．3．2 形如ae？的曲线拟合70

3．4 快速Fourier分析72

3．4．1 连续型Fourier分析72

3．4．2 离散Fourier分析74

3．4．3 快速Fourier变换（FFT）76

习题83

4数值微分、数值积分86

4．1 数值微分86

4．1．1 差商型数值微分86

4．1．2 插值型数值微分87

4．1．3 样条插值数值微分公式91

4．2 数值积分92

4．2．1 数值积分92

4．2．2 待定系数法93

4．2．3 插值型数值积分公式95

4．3．1 Newton-Cote s积分98

4．3 Newton-Cote s积分98

4．3．2 Newton-Cote s积分误差101

4．4 复化数值积分108

4．4．1 复化梯型公式108

4．4．2 复化Simpson公式110

4．4．3 积分的自适应运算112

4．5 外推方法、Romberg积分117

4．5．1 外推方法117

4．5．2 Romberg积分119

4．6 Gauss积分123

4．6．1 Gauss积分123

4．6．2 Gauss积分性质与积分误差127

4．6．3 常用的Gauss型积分129

习题135

5矩阵范数137

5．1 向量范数137

5．1．1 向量范数137

5．1．2 向量范数性质138

5．2 矩阵范数140

5．2．1 矩阵范数140

5．2．2 矩阵的条件数143

5．2．3 收敛矩阵146

习题148

6解线性方程组的直接法150

6．1 消元法151

6．1．1 消元法151

6．1．2 Gauss消元法153

6．1．3 列主元消元法157

6．1．4 全主元消元法158

6．1．5 消元法与矩阵分解159

6．2 矩阵的三角分解162

6．2．1 Doolittle分解162

6．2．2 Courant分解165

6．2．3 带状矩阵分解、追赶法168

6．3 正定矩阵的平方根分解170

6．3．1 平方根分解170

6．3．2 LDLT分解171

6．4 逆矩阵求解172

6．4．1 Gauss-Jordan消元172

6．4．2 逆矩阵求解173

习题175

7解线性方程组的迭代法178

7．1 迭代法178

7．1．1 迭代法178

7．1．2 迭代收敛定理180

7．2 Jacobi迭代181

7．2．1 迭代计算式181

7．2．2 迭代矩阵，收敛定理183

7．3 Gauss-Seidel迭代184

7．3．1 迭代计算式184

7．3．2 迭代矩阵，收敛定理185

7．4．1 迭代计算式186

7．4 松弛迭代186

7．4．2 迭代矩阵，收敛定理187

7．5 共轭斜量法189

7．5．1 线性方霍组与函数极小化189

7．5．2 共轭斜量法191

习题194

8非线性方程（组）求根196

8．1 迭代法197

8．1．1 压缩映射、Picard迭代197

8．1．2 Picard迭代的误差，收敛阶201

8．2 求实根的对分法203

8．3．1 简单迭代204

8．3 Newton迭代204

8．3．2 Newton迭代205

8．3．3 Newton迭代的收敛阶206

8．4 弦截法208

8．4．1 弦截法208

8．4．2 弦载法的收敛阶210

8．5 抛物线法（M？ller法）212

8．5．1 M？ller法212

8．5．2 M？ller法计算公式212

8．5．3 M？ller方法的收敛阶214

8．6 非线性方程组求解216

8．6．1 非线性方程组求解216

8．6．2 Newton迭代219

8．7 劈因子迭代220

8．7．1 劈因子迭代220

8．7．2 林士谔方法222

8．7．3 林士谔-Bairstow方法222

8．8 Sturm定理225

8．8．1 变号函数225

8．8．2 Sturm定理226

习题230

9矩阵特征值，特征向量的计算232

9．1 幂法232

9．1．1 幂法232

9．1．2 幂法的规范运算235

9．1．3 反幂法239

9．2 Jacobi方法240

9．2．1对称阵，旋转变换240

9．2．2 Jacobi方法243

9．3 Givens-Householder方法247

9．3．1 Householder矩阵，对称阵三对角化247

9．3．2 Givens-Householder方法253

9．4 QR方法258

9．4．1 QR分解258

9．4．2 QR方法263

9．4．3 Hessenberg矩阵及其QR分解264

9．4．4 带位移的QR方法271

习题272

10常微分方程数值解法274

10．1 Euler公式275

10．1．1 基于数值微商的差分方程275

10．1．2 Euler公式及其几何解释278

10．1．3 Euler法的收敛性279

10．1．4 Euler公式的舍入误差281

10．1．5 Euler法的外推加速283

10．1．6 Euler方法的自适应运算286

10．2 Runge-Kutta法288

10．2．1 基于Taylor展开的差分方程288

10．2．2 Runge-Kutta法289

10．2．3 Runge-Kutta法的收敛性295

10．3．1 基于数值积分的线性多步法298

10．3 线性多步法298

10．3．2 Adam s公式302

10．4 隐格式迭代、预估-校正公式306

10．4．1 隐格式的迭代法306

10．4．2 预估-校正格式308

10．4．3 预估-修正-校正-修正公式310

10．5 方程组，高阶方程数值方法314

10．5．1 一阶方程组的数值方法314

10．5．2 高阶常微分方程数值方法316

10．6 关于差分方程317

10．7 差分方法的相容性、收敛性、稳定性322

10．7．1 单步法的相容性322

10．7．2 单步法的收敛性324

10．7．3 多步法的相容性325

10．7．4 多步法的收敛性327

10．7．5 差分方程的渐近稳定性330

10．7．6 差分方程的绝对稳定性331

10．8 Stiff方程339

10．8．1 Stiff方程339

10．8．2 A（α）稳定，刚性稳定342

10．9 边值问题数值方法345

10．9．1 边值问题345

10．9．2 边值问题的“打靶”法347

10．9．3 有限差分方法349

习题353