《数值分析》

第一章绪论1

1数值分析的对象与特点1

2误差来源与误差分析的重要性3

3误差的基本概念6

3-1误差与误差限6

3-2相对误差与相对误差限6

3-3有效数字7

3-4数值运算的误差估计10

4数值运算中误差分析的方法与原则12

习题17

第二章插值法19

1引言19

2拉格朗日插值21

2-1插值多项式的存在唯一性21

2-2线性插值与抛物插值22

2-3拉格朗日插值多项式24

2-4插值余项26

3逐次线性插值法29

4均差与牛顿插值公式32

4-1均差及其性质32

4-2牛顿插值公式34

5差分与等距节点插值公式36

5-1差分及其性质36

5-2等距节点插值公式38

6埃尔米特插值41

7分段低次插值45

7-1多项式插值的问题45

7-2分段线性插值46

7-3分段三次埃尔米特插值48

8三次样条插值50

8-1三次样条函数50

8-2三转角方程51

8-3三弯矩方程55

8-4计算步骤与例题57

8-5三次样条插值的收敛性58

习题60

第三章函数逼近与计算64

1引言与预备知识64

1-1问题的提出64

1-2维尔斯特拉斯定理65

1-3连续函数空间C〔a,b〕67

2最佳一致逼近多项式67

2-1最佳一致逼近多项式的存在性67

2-2切比雪夫定理69

2-3最佳一次逼近多项式72

2-4里姆斯算法74

3最佳平方逼近75

3-1内积空间75

3-2函数的最佳平方逼近78

4正交多项式82

4-1勒让德多项式82

4-2切比雪夫多项式86

4-3其他常用的正交多项式89

5函数按正交多项式展开91

6近似最佳一致逼近多项式93

6-1截断切比雪夫级数93

6-2拉格朗日插值余项的极小化96

6-3台劳级数项数的节约（99）。101

7曲线拟合的最小二乘法101

7-1一般的最小二乘逼近（101）。107

7-2用正交函数作最小二乘拟合107

7-3多元最小二乘拟合（109）。110

8富利叶逼近与快速富利叶变换110

8-1最佳平方三角逼近与三角插值110

8-2快速富氏变换（FFT）114

习题120

第四章数值积分与数值徽分124

1引言124

1-1数值求积的基本思想124

1-2代数精度的概念126

1-3插值型的求积公式126

2牛顿-柯特斯公式128

2-1柯特斯系数128

2-2偶阶求积公式的代数精度129

2-3几种低阶求积公式的余项131

2-4复化求积法及其收敛性132

3龙贝格算法135

3-1梯形法的递推化135

3-2龙贝格公式137

3-3李查逊外推加速法139

3-4梯形法的余项展开式141

4高斯公式144

4-1高斯点144

4-2高斯-勒让德公式145

4-3高斯公式的余项147

4-4高斯公式的稳定性148

4-5带权的高斯公式149

5数值微分152

5-1中点方法152

5-2插值型的求导公式154

5-3实用的五点公式157

5-4样条求导158

习题160

第五章常微分方程数值解法162

1引言162

2尤拉方法163

2-1尤拉公式163

2-2后退的尤拉公式165

2-3梯形公式167

2-4改进的尤拉公式168

2-5尤拉两步公式170

3龙格-库塔方法172

3-1台劳级数法172

3-2龙格-库塔方法的基本思想174

3-3二阶龙格-库塔方法175

3-4三阶龙格-库塔方法177

3-5四阶龙格-库塔方法179

3-6变步长的龙格-库塔方法181

4单步法的收敛性和稳定性182

4-1单步法的收敛性182

4-2单步法的稳定性185

5线性多步法188

5-1基于数值积分的构造方法188

5-2亚当姆斯显式公式189

5-3亚当姆斯隐式公式191

5-4亚当姆斯预测-校正系统192

5-5基于台劳展开的构造方法195

5-6米尔尼公式198

5-7哈明公式199

6方程组与高阶方程的情形200

6-1一阶方程组200

6-2化高阶方程为一阶方程组202

7边值问题的数值解法204

7-1试射法205

7-2差分方程的建立205

7-3差分问题的可解性208

7-4差分方法的收敛性210

习题212

第六章方程求根216

1根的搜索216

1-1逐步搜索法216

1-2二分法217

2迭代法220

2-1迭代过程的收敛性220

2-2迭代公式的加工225

3牛顿法228

3-1牛顿公式228

3-2牛顿法的几何解释229

3-3牛顿法的局部收敛性230

3-4牛顿法应用举例232

3-5牛顿下山法234

4弦截法与抛物线法235

4-1弦截法236

4-2抛物线法241

5代数方程求根244

5-1多项式求值的秦九韶算法244

5-2代数方程的牛顿法245

5-3劈因子法246

习题249

第七章解线性方程组的直接方法252

1引言252

2高斯消去法253

2-1高斯消去法253

2-2矩阵的三角分解258

2-3计算量260

3高斯主元素消去法261

3-1完全主元素消去法263

3-2列主元素消去法265

3-3高斯-若当消去法268

4高斯消去法的变形272

4-1直接三角分解法272

4-2平方根法277

4-3追赶法282

5向量和矩阵的范数285

6误差分析293

6-1矩阵的条件数301

6-2舍入误差301

习题303

第八章解线性方程组的迭代法309

1引言309

2雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法312

2-1雅可比迭代法312

2-2高斯-塞德尔迭代法313

3迭代法的收敛性315

4解线性方程组的超松弛迭代法324

习题331

第九章矩阵的特征值与特征向量计算335

1引言335

2幂法及反幂法337

2-1幂法337

2-2加速方法342

2-3反幂法346

3雅可比方法350

3-1引言350

3-2雅可比方法351

3-3雅可比过关法358

4豪斯荷尔德方法359

4-1引言359

4-2用正交相似变换约化矩阵363

5QR算法370

5-1引言370

5-2QR算法373

5-3带原点位移的QR方法378

习题384

参考资料386

部分习题答案387