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第一章 数值计算引论1

§1 数值分析研究对象1

§2 误差来源及种类1

§3 误差的基本概念3

3．1 绝对误差和相对误差3

3．2 有效数字4

§4 求函数值的误差估计6

§5 在数值计算中应注意的几个问题9

习题114

第二章 插值法16

§1 引言16

§2 拉格朗日插值多项式18

2．2 拉格朗日(Lagrange)插值多项式19

2．1 插值基函数19

2．3 插值多项式的余项22

2．4 算法与例子24

§3 逐步线性插值法25

3．1 列维尔算法26

3．2 算法与例子29

§4 差商与牛顿插值多项式31

4．1 差商(均差)及性质31

4．2 牛顿插值多项式32

4．3 算法与例子35

§5 差分，等距节点插值多项式39

5．1 差分及性质39

5．2 牛顿向前插值，向后插值公式42

§6 埃尔米特插值45

7．1 高次插值的龙格(Runge)现象53

§7 分段插值法53

7．2 分段线性插值54

7．3 分段三次埃尔米特插值55

§8 三次样条插值57

8．1 引言57

8．2 三次样条插值函数的表达式60

8．3 三弯矩方程63

8．4 算法与例子68

8．5 三次样条插值函数的收敛性73

§9 B样条函数及性质73

9．1 半截幂函数73

9．2 样条函数74

9．3 B样条函数及性质76

习题284

§1 引言87

第三章 函数与数据的逼近87

§2 连续函数空间，正交多项式理论92

2．1 连续函数空间92

2．2 正交多项式理论96

§3 最佳平方逼近108

3．1 法方程108

3．2 用多项式作最佳平方逼近113

3．3 用正交多项式作最佳平方逼近114

§4 最小二乘逼近119

4．1 一般的最小二乘逼近119

4．2 算法与例子126

4．3 用正交多项式作曲线拟合算法131

4．4 非线性模型举例136

§5 用B样条作最小二乘逼近142

§6 近似最佳一致逼近多项式145

6．1 函数展开为Chebyshcv级数147

6．2 拉格朗日插值余项的极小化151

6．3 泰勒级数的缩减156

习题3159

第四章 数值积分与数值微分162

§1 插值型数值求积公式162

1．1 一般求积公式及其代数精度162

1．2 插值型求积公式163

1．3 Newton-Cotes求积公式165

1．4 Newton-Cotes求积公式的余项168

1．5 Newton-Cotes公式的数值稳定性和收敛性170

§2 Gauss型求积公式171

2．1 最高代数精度求积公式171

2．2 Gauss点与正交多项式的联系173

2．4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性174

2．3 Gauss求积公式的余项174

2．5 几个常用的Gauss型求积公式176

2．6 低阶Gauss型求积公式构造方法178

§3 复化数值求积公式180

3．1 复化数值求积法180

3．2 复化梯形公式181

3．3 复化Simpson公式182

3．4 复化求积公式的收敛阶183

§4 外推方法184

4．1 外推原理184

4．2 复化梯形公式余项的渐近展开185

4．3 Romberg算法186

4．4 外推法的进一步讨论187

5．2 自适应算法189

§5 自适应求积方法189

5．1 自适应计算问题189

§6 奇异积分和振荡函数积分的数值方法191

6．1 奇异积分计算191

6．2 振荡函数积分的计算193

§7 二元函数数值积分195

7．1 矩形域上乘积型求积公式196

7．2 三角形域上面积坐标积分法197

§8 数值微分199

8．1 插值函数法199

8．2 差分算子近似微分算子法202

8．3 隐式方法205

习题4207

§1 引言209

第五章 解线性方程组的直接法209

§2 初等矩阵211

2．1 初等下三角阵(高斯变换)212

2．2 初等置换阵212

2．3 初等反射阵(Householder变换)213

2．4 平面旋转矩阵(Givens变换)218

§3 高斯消去法221

§4 高斯选主元素消去法229

4．1 完全主元素消去法230

4．2 列主元素消去法233

4．3 列主元高斯-约当消去法235

§5 用直接三角分解法解线性方程组240

5．1 矩阵的三角分解240

5．2 不选主元三角分解法243

5．3 部分选主元三角分解法246

6．1 对称正定矩阵及性质249

§6 解对称正定矩阵线性方程组的平方根法249

6．2 平方根法252

6．3 改进的平方根法254

§7 解三对角线方程组的追赶法258

§8 用直接法解大型带状方程组262

8．1 用分解法解大型等带宽方程组262

8．2 用改进平方根法解大型变带宽对称正定方程组269

§9 向量，矩阵范数，矩阵的条件数274

9．1 向量，矩阵范数274

9．2 矩阵的条件数，病态方程组281

9．3 关于病态方程组解法287

§10 矩阵的正交分解(QR分解)292

习题5299

§1 引言、例子302

第六章 解大型稀疏线性方程组的迭代法302

§2 基本迭代法305

2．1 雅可比(Jacobi)迭代法306

2．2 高斯-塞德尔迭代法(G-S)307

2．3 解大型稀疏线性方程组的逐次超松弛迭代法(SOR)309

§3 迭代法的收敛性312

3．1 一阶定常迭代法的基本定理312

3．2 关于解特殊线性方程组迭代法的收敛性317

3．3 迭代法收敛速度323

3．4 分块迭代法327

§4 梯度法331

4．1 等价性定理332

4．2 最速下降法335

4．3 共轭梯度法(CG)336

习题6347

§1 基础知识349

1．1 非线性方程，非线性方程组349

第七章 非线性方程(组)数值解法349

1．2 非线性方程(组)求解的特点350

1．3 映射的Jacobi阵和F导数351

1．4 收敛性和收敛阶352

§2 非线性方程的二分法和插值法353

2．1 二分法353

2．2 正割法355

2．3 抛物线法357

2．4 反插值法358

§3 解x＝g(x)的简单迭代法359

3．1 简单迭代法公式359

3．2 收敛定理361

4．1 Aitken加速方法364

§4 迭代的加速法364

4．2 Steffenson迭代方法366

§5 解f(x)＝0的Newton迭代法367

5．1 Newton迭代公式367

5．2 Newton法收敛定理368

5．3 Newton下山法372

5．4 Newton迭代算法373

§6 解方程组x=G(x)的简单迭代法374

6．1 简单迭代法374

6．2 简单迭代的收敛性375

§7 解方程组F(x)＝0的Newton法377

7．1 Newton法迭代公式378

7．2 收敛定理378

7．3 Newton下山法380

7．4 m步Newton法381

7．5 算法382

§8 quasi-Newton法383

8．1 Broyden方法和一般quasi-Newton法383

8．2 几个秩2 quasi-Newton法384

习题7387

第八章 常微分方程数值解法390

§1 基本概念390

1．1 常微分方程初值问题的一般解法390

1．2 初值问题数值解基本概念392

§2 Eulcr方法394

2．1 显式Euler方法394

2．2 隐式Euler方法和梯形方法396

2．3 预估-校正Euler方法398

2．4 单步法的局部截断误差、整体截断误差399

3．1 Taylor方法402

§3 Taylor方法和Runge-Kutta方法402

3．2 Runge-Kutta方法的一般形式403

3．3 常用低阶Runge-Kutta方法404

3．4 其它Runge-Kutta方法408

§4 单步法的进一步讨论409

4．1 收敛性与相容性409

4．2 稳定性410

4．3 均匀步长重复Richardson外推法413

4．4 变步长自动选择413

§5 Adams方法和一般线性多步法414

5．1 Adams方法415

5．2 一般线性多步法420

§6 线性多步法的收敛性与稳定性424

6．1 常系数线性差分方程424

6．2 线性多步法的方法稳定性426

6．3 数值稳定性427

§7 一阶方程组初值问题数值方法429

7．1 数值方法推广到方程组429

7．2 刚性方程组431

§8 二阶常微分方程边值问题数值方法432

8．1 打靶法433

8．2 有限差分法433

习题8435

第九章 矩阵特征值与特征向量计算方法437

§1 引言437

§2 幂法及反幂法442

2．1 幂法442

2．2 加速方法447

2．3 反幂法(或逆迭代)450

§3 豪斯荷尔德方法454

3．1 正交相似变换约化一般矩阵为上Hessenberg阵455

3．2 正交相似变换约化对称阵为对称三对角阵460

§4 QR算法462

4．1 引言462

4．2 QR算法及收敛性463

4．3 带原点位移的QR方法465

4．4 用单步QR方法计算上Hessenberg阵特征值467

4．5 稳式对称QR方法471

§5 计算对称矩阵特征值的Jacobi方法480

5．1 引言480

5．2 古典Jacobi方法481

5．3 Jacobi过关法489

习题9490

参考文献494