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第一章绪论1

1数值分析的对象与特点1

2误差来源与误差分析的重要性2

3误差的基本概念5

3—1误差与误差限5

3—2相对误差与相对误差限6

3—3有效数字7

4数值运算中误差分析的若干原则10

习题15

第二章插值法18

1引言18

2拉格朗日插值20

2—1插值多项式的存在唯一性20

2—2线性插值与抛物插值21

2—3拉格朗日插值多项式25

2—4插值余项26

3埃特金逐步插值与牛顿插值公式30

3—1埃特金逐步插值30

3—2均差与牛顿插值公式33

3—3牛顿插值多项式余项35

4差分与等距节点插值公式37

4—1差分及其性质37

4—2等距节点插值公式40

5埃尔米特插值43

6插值过程的收敛性与稳定性47

7分段线性插值54

8分段三次埃尔米特插道57

9三次样条插值60

9—1三次样条函数61

9—2三转角方程62

9—3三弯矩方程66

9—4计算步骤与例题67

10三次样条插值的稳定性与收敛性68

习题75

第三章函数逼近与计算80

1引言与预备知识80

1—1问题的提出80

1—2维尔斯特拉斯定理81

1—3连续函数空向C〔a、b〕83

2最佳一致逼近多项式84

2—1最佳一致逼近多项式的存在性84

2—2切比雪夫定理87

2—3最佳一次逼近多项式90

2—4里米兹算法92

3切比雪夫多项式93

3—1切比雪夫多项式定义与性质94

3—2拉格朗日插值余项的极小化99

3—3幂级数项数的节约102

4最佳平方逼近104

4—1预备知识105

4—2函数的最佳平方逼近109

4—3用正交函数族作平方逼近112

5正交多项式114

5—1勒让德多项式115

5—2用勒让德多项式作平方逼近119

5—3其他常用的正交多项式121

6函数按切比雪夫多项式展开122

7曲线拟合的最小二乘法126

7—1什么是最小二乘法126

7—2用正交函数作最小二乘拟合135

8离散富氏变换及其快速算法138

8—1三角函数插值与离散富氏变换138

8—2频谱分析与频率数字滤波141

8—3快速富氏变换（FFT）144

习题153

第四章数值积分与数值微分158

1引言158

1—1数值求积的基本思想158

1—2代数精度的概念160

1—3插值型的求积公式161

2牛顿一柯特斯公式163

2—1柯特斯系数163

2—2偶阶求积公式的代数精度166

2—3几种抵阶求积公式的余项168

2—4复化求积法及其收敛性169

3龙贝格算法174

3—1梯形法的递推化174

3—2龙贝格公式176

3—3李查逊外推加速法179

3—4梯形法的余项展开式182

4高斯公式187

4—1问题的提出187

4—2高斯点190

4—3高斯一勒让德公式192

4—4高斯公式的余项193

4—5高斯公式的收敛性与稳定性194

4—6带权的高斯公式198

5样条求积200

6数值微分203

6—1中点方法203

6—2中点方法的加速206

6—3插值型的求导公式207

6—4实用的五点公式210

6—5样条求导212

第五章常微分方程数值解法220

1引言220

2尤拉方法221

2—1尤拉公式221

2—2后退的尤拉公式223

2—3梯形公式226

2—4改进的尤拉公式227

2—5尤拉两步公式229

3龙格一库塔方法232

3—1台劳级数法232

3—2龙格一库塔方法的基本思想234

3—3二阶龙格—库塔方法235

3—4三阶龙格—库塔方法237

3—5四阶龙格—库塔方法240

3—6变步长的龙格—库塔方法243

4单步法的收敛性和稳定性245

4—1单步法的收敛性245

4—2单步法的稳定性248

5线性多步法252

5—1基于数值积分的构造方法252

5—2亚当姆斯显式公式254

5—3亚当姆斯隐式公式255

5—4亚当姆斯预测—校正系统257

5—5基于台劳展开的构造方法261

5—6米尔尼公式264

5—7哈明公式265

6多步法的收敛性和稳定性266

6—1线性差分方程解的结构266

6—2多步法的稳定性268

6—3多步法的收敛性271

7方程组与高阶方程的情形273

7—1一阶方程组273

7—2刚性方程组的概念275

7—3化高阶方程为一阶方程组278

7—4特殊的二阶方程280

8边值问题的数值方法282

8—1试射法282

8—2差分方程的建立283

8—3差分问题的可解性286

8—4差分方法的收敛性287

第六章方程求根294

1根的搜索294

1—1逐步搜索法294

1—2二分法295

1—3比例求根法298

2迭代法300

2—1迭代过程的收敛性300

2—2迭代公式的加工307

3牛顿法310

3—1牛顿公式310

3—2牛顿法的几何解释312

3—3牛顿法的局部收敛性313

3—4牛顿法应用举例315

3—5牛顿下山法317

3—6方程组的牛顿法319

4弦截法与抛物线法322

4—1弦截法322

4—2抛物线328

5代数方程求根331

5—1多项式求值的秦九韶算法331

5—2代数方程的牛顿法333

5—3劈因子法334

第七章解线性代数方程组的直接法342

1引言342

2高斯消去法344

2—1高斯消去法344

2—2矩阵的三角分解352

2—3计算量355

3高斯主元素消去法356

3—1完全主元素消去法358

3—2列主元素消去法361

3—3高斯—约当方法求逆矩阵362

4高斯消去法的变形368

4—1直接三角分解法368

4—2平方根法376

4—3追赶法384

5向量和矩阵的范数388

6误差分析398

6—1矩阵的条件数398

6—2舍入误差407

第八章解线性方程组的迭代法420

1引言420

2雅可比迭代法与塞德尔迭代法424

2—1雅可比迭代法424

2—2塞德尔迭代法425

3迭代法的收敛性428

4解线性代数方程组的逐次超松弛法438

5解线性代数方程组的梯度法448

5—1最速下降法448

5—2共轭梯度法452

第九章矩阵的特征值与特征向量计算475

1引言475

2幂法及反幂法478

2—1幂法478

2—2加速方法486

2—3反幂法491

3雅可比方法496

3—1引言496

3—2Jacob方法498

3—3Jacobi过关法508

4豪斯荷尔德方法510

4—1初等反射阵及性质510

4—2用正交相似变换约化矩阵515

5对称三对角矩阵的特征值计算524

5—1序列{fk（λ）}是一个sturm序列525

5—2求对称三对角阵的特征值的二分法529