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第九章常微分方程初值问题的数值解法1

1引言1

1.1 基本知识复习1

1.2 其它常微分方程2

2Euler方法3

2.1 Euler方法的导出3

2.2 误差分析6

2.3 改进的Euler方法7

3高阶单步方法10

3.1 Taylor方法10

3.2 怎样构造容易计算的高阶单步方法10

3.3 显式Runge-Kutta方法12

3.4 隐式与半隐式Runge-Kutta方法14

3.5 外推方法14

4单步方法的收敛性与稳定性16

4.1 稳定性18

4.2 绝对稳定性19

5线性多步方法22

5.1 数值积分方法：显式方法22

5.2 数值积分方法：隐式方法24

5.3 待定系数方法25

5.4 线性多步方法的应用27

5.5 多步方法的收敛性与稳定性31

6一阶微分方程组初值问题的数值解法32

6.1 几个常用的算法33

6.2 刚性方程组35

7 把常微分方程的边值问题化为初值问题的数值解法37

习题38

第十章有限差分方法43

1抛物型方程的有限差分法43

1.1 定解条件及其分类43

1.2 建立差分方程的基本方法44

1.3 几种常见的差分方程48

1.4 多维抛物型方程的数值解法50

1.5 几个例子53

1.6 边界条件的处理54

2稳定性和收敛性55

2.1 判断稳定性的代数方法57

2.2 Fourier方法60

3双曲型方程的有限差分方法64

3.1 一阶线性双曲型方程的有限差分方法69

3.2 二阶线性双曲型方程的有限差分方法73

3.3 守恒型方程的有限差分方法76

4椭圆型方程的有限差分方法79

4.1 差分方程的建立80

4.2 定解条件的处理83

4.3 极值定理85

4.4 五点差分格式解的存在性和收敛性88

5 常微分方程边值问题的有限差分方法90

习题94

第十一章有限元方法101

1变分原理101

1.1 极小位能原理102

1.2 本质边界条件105

1.3 虚功原理107

1.4 椭圆型方程的变分原理108

2Ritz-галеркин方法110

2.1 Ritz方法111

2.2 Галеркин方法111

2.3 投影定理112

3常微分方程的有限元方法115

3.1 用Ritz方法建立有限元方程组116

3.2 从Галеркин方法出发120

3.3 线性元的误差估计121

4椭圆型方程的有限元方法122

4.1 二维矩形元的分片插值多项式的构造122

4.2 三角形元125

4.3 有限元方程组的形成128

5 抛物型方程的有限元方法134

习题136

第十二章例题选讲139

第十三章程序设计方法195

1 引言195

2几个常用的标准子程序195

2.1 子程序的概念195

2.2 常见的子程序196

3 模块化技术202

4流程图的基本概念及应用204

4.1 流程图的基本概念204

4.2 流程图在程序设计中的应用205

5 编写程序的一般步骤208

6如何写出好的程序211

6.1 结构简单的程序的特点211

6.2 优化程序211

6.3 其它注意事项213

7 如何把BASIC源程序转化成FORTRAN源程序213

第十四章数值方法的程序设计示范216

1 引言216

2线性方程组数值方法的程序设计示范216

2.1 Gauss列主元消去法216

2.2 Jacobi迭代法220

2.3 追赶法223

3非线性方程组数值方法的程序设计示范223

3.1 一般迭代法224

3.2 Newton迭代法226

4 常微分方程初值问题数值方法的程序设计示范229

5 抛物型偏微分方程的数值方法的程序设计示范235

第十五章习题解答244

1 第二章非线性方程求根244

2 第三章解线性方程组的直接方法247

3 第四章解线性方程组的迭代法263

4 第五章矩阵特征值问题的数值解法268

5 第六章函数的插值方法277

6 第七章曲线拟合与函数逼近289

7 第八章数值微分与积分292

8 第九章常微分方程初值问题的数值解法296

9 第十章有限差分方法305

10 第十一章有限元方法322

参考资料326