《微分方程数值方法》求取 ⇩

第1章 常微分方程初值问题2

1.1 基本概念 Euler法与梯形法3

1.1.1 Euler法3

第一部分 常微分方程的数值解法3

1.1.2 梯形法8

1.2 Runge-Kutta方法及一般单步方法10

1.2.1 RK方法的构造11

1.2.2 单步方法的相容性与收敛性19

1.2.3 单步方法整体截断误差渐近展开及其应用23

1.3.1 线性多步方法的构造26

1.3 线性多步方法26

1.3.2 线性多步方法的应用32

1.4 线性差分方程的基本知识36

1.4.1 一般性质36

1.4.2 常系数齐次差分方程的基本解组37

1.4.3 常系数差分方程解的渐近性质40

1.5 一般多步方法的收敛性42

1.5.1 多步方法的收敛性42

1.5.2 线性多步方法情形的进一步结果48

1.6.1 线性多步方法的绝对稳定性52

1.6 数值稳定性52

1.6.2 绝对稳定区间的确定57

1.6.3 Runge-Kutta方法的绝对稳定性60

1.7 一阶方程组与刚性问题62

1.7.1 一阶方程组62

1.7.2 刚性问题64

本章小结与补充讨论70

习题71

主要参考书目74

第2章 椭圆型方程77

第二部分 偏微分方程的差分方法77

2.1 两点边值问题的差分格式78

2.1.1 用差商代替导数的方法78

2.1.2 积分插值法83

2.1.3 边界条件的处理84

2.2 二阶椭圆型方程边值问题的差分格式85

2.2.1 区域的矩形网格剖分86

2.2.2 矩形区域上的差分格式88

2.2.3 矩形区域上边界条件的处理92

2.2.4 非矩形区域上的差分格式与边界条件的处理93

2.3.2 用积分插值法构造内点的差分格式97

2.3 35 积分插值法构造差分格式97

2.3.1 偏微分方程的积分形式97

2.3.3 用积分插值法构造边界点的差分格式101

2.4 极值原理与差分格式的收敛性103

2.4.1 线性椭圆型差分方程的一般形式103

2.4.2 极值原理及差分格式之解的先验估计105

2.4.3 五点格式的稳定性与收敛性110

2.5 能量估计与差分格式的收敛性115

2.5.1 记号、若干差分公式与不等式115

2.5.2 差分算子的特征值与特征函数117

2.5.3 两点边值问题差分格式之解的先验估计及收敛性122

2.5.4 二阶自共轭椭圆型方程边值问题之解的先验估计及收敛性126

2.6 交替方向迭代法131

2.6.1 模型问题131

2.6.2 Peaceman-Rachford迭代格式133

2.6.3 PR迭代格式中迭代参数的选择136

2.6.4 其它交替方向迭代格式139

2.7 预处理共轭梯度法142

2.7.1 共轭梯度法主要步骤与性质142

2.7.2 预处理共轭梯度法的步骤及预优矩阵的构造143

2.8.1 一维模型问题与古典迭代的光滑效应150

2.8 多重网格法150

2.8.2 二重网格法152

2.8.3 多重网格法159

本章小结与补充讨论161

习题162

第3章 抛物型方程165

3.1 一维抛物型方程初边值问题的差分格式167

3.1.1 常系数热传导方程的古典格式168

3.1.2 变系数方程的差分格式174

3.2.1 差分格式的稳定性176

3.2 差分格式的稳定性与收敛性176

3.2.2 差分格式的相容性与收敛性184

3.3 稳定性研究中的矩阵方法187

3.3.1 矩阵方法的一般讨论187

3.3.2 常系数热传导方程古典格式的稳定性190

3.3.3 第三边值问题差分格式的稳定性196

3.4 稳定性研究中的分离变量法198

3.4.1 分离变量法的一般讨论198

3.4.2 对多个空间变量情形的应用203

3.4.3 对三层格式的应用206

3.5.1 热传导系数与时间无关的情形212

3.5 用能量估计方法分析热传导方程差分格式稳定性212

3.5.2 热传导系数与时间相关的情形216

3.6 差分格式的单侧逼近性质及其应用223

3.7 交替方向隐格式及相关的格式229

3.7.1 PR格式229

3.7.2 Douglas格式231

3.7.3 非齐次边界条件情形下过渡层边值的取法235

3.7.4 局部-维格式与预测-校正格式236

本章小结与补充讨论241

习题242

第4章 双曲型方程247

4.1 一阶线性双曲型方程的差分格式248

4.1.1 一阶常系数方程初值问题248

4.1.2 一阶常系数方程初边值问题258

4.1.3 一阶变系数方程初边值问题262

4.2 一阶常系数线性双曲型方程组的差分格式265

4.3 二阶线性双曲型方程的差分格式269

4.3.1 一维常系数波动方程269

4.3.2 一维变系数波动方程276

4.3.3 二维波动方程280

4.4 交替方向隐格式282

4.5.1 问题叙述289

4.5 对流扩散方程的特征差分格式289

4.5.2 基于线性插值的特征差分格式291

4.5.3 基于二次插值的特征差分格式296

本章小结与补充讨论304

习题305

主要参考书目308

5.1 古典变分法的一些概念312

5.1.1 泛函的极值与Euler方程312

第5章 边值问题的变分原理312

第三部分 偏微分方程的有限元方法312

5.1.2 自然边界条件321

5.1.3 多个自变量的情形323

5.1.4 自然边界条件(续)327

5.2 边值问题的变分原理330

5.2.1 边值问题与最小位能原理331

5.2.2 虚功原理334

5.2.3 边值问题与变分问题的关系336

5.2.4 内边界条件337

5.3 Sobolev空间与广义解340

5.3.1 广义导数341

5.3.2 Sobolev空间347

5.3.3 广义解的存在性和唯一性350

5.4 变分近似法358

5.4.1 Ritz方法358

5.4.2 Galerkin方法361

5.4.3 投影定理362

本章小结与补充讨论366

习题367

第6章 有限元方法的基本结构370

6.1.1 用Ritz方法建立有限元方程371

6.1 两点边值问题的有限元方法371

6.1.2 用Galerkin方法建立有限元方程382

6.2 二维边值问题有限元方法390

6.2.1 三角剖分与分片插值391

6.2.2 单元分析与总体合成397

6.2.3 积分的计算405

6.2.4 本质边界条件的处理410

6.2.5 有限元方程的求解415

6.1.6 有限元方法的一般过程419

本章小结与补充讨论421

习题421

附录：数值积分公式423

7.1 形状函数与有限元空间425

第7章 有限元方法的几个问题425

7.1.1 引言427

7.1.2 一维高次元的形状函数431

7.1.3 一维Hermite型的形状函数438

7.1.4 二维矩形单元的形状函数443

7.1.5 二维三角形单元的形状函数451

7.1.6 等参数单元460

7.1.7 三维情形467

7.1.8 单元形状函数小结472

7.2.1 引言473

7.2 收敛性与误差估计473

7.2.2 Sobolev空间中的插值理论475

7.2.3 有限元方法的收敛性与误差估计487

7.3 抛物型方程的有限元方法492

7.3.1 引言492

7.3.2 半离散的有限元方程497

7.3.3 全离散的有限元方程500

本章小结与补充讨论502

习题503

主要参考书目504