《常微分方程及其数值解法》求取 ⇩

第一章 结论1

1.1 引言1

1.2 一些常见的微分方程问题3

1.3 基本概念14

习题19

第二章 微分方程的初等解法22

2.1 变量分离方程与变量替换22

2.1.1 变量分离方程22

2.1.2 可化为变量分离的方程27

2.2 恰当方程及积分因子34

2.2.1 恰当方程34

2.2.2 积分因子39

2.3 一阶线性方程及有关方程43

2.3.1 一阶线性方程的解法43

2.3.2 线性方程的性质46

2.3.3 可化为线性方程的方程47

2.4 一阶隐式方程50

2.4.1 可解出y或x的方程50

2.4.2 不显含y或x的方程54

2.5 高阶方程的降阶法56

习题61

第三章 常微分方程的一般理论66

3.1 初值问题解的存在唯一性定理和逐步逼近法67

3.1.1 存在唯一性定理67

3.1.2 近似计算和误差估计79

3.2 解的延拓80

3.3 解对初值和参数的连续性和可微性85

3.4.1 一阶显式方程的奇解93

3.4 奇解与包络93

3.4.2 p判别曲线94

3.4.3 包络与奇解96

习题99

第四章 一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程102

4.1 引言102

4.1.1 记号和定义102

4.1.2 化n阶级性微分方程为一阶线性微分方程组105

4.2 存在唯一性定理110

4.2.1 予备知识110

4.2.2 存在唯一性定理111

4.3 一阶线性微分方程组解的基本理论113

4.3.1 齐次一阶线性微分方程组113

4.3.2 非齐次一阶线性微分方程组119

4.3.3 高阶级性微分方程123

4.4 常系数高阶线性方程的解法128

4.4.1 齐次n阶常系数线性方程和欧拉(Euler)方程128

4.4.2 非齐次n阶常系数线性微分方程134

4.5.1 矩阵指数expA的定义和性质139

4.5 常系数线性方程组的解法139

4.5.2 齐次常系数线性方程组基解矩阵的计算141

4.5.3 非齐次常系数线性方程组154

4.6 二阶变系数线性方程157

4.6.1 降价法157

4.6.2 级数解法158

习题165

第五章 常微分方程的数值解法171

5.1 引言171

5.2.1 欧拉方法和它的几何意义173

5.2 欧拉方法173

5.2.2 数值方法的误差、欧拉方法离散误差的估计176

5.2.3 收敛性与稳定性182

5.3 高阶单步法184

5.3.1 台劳展开方法184

5.3.2 龙格--库塔方法186

5.3.3 高阶单步方法的收敛性、稳定性和相容性193

5.4 线性多步方法195

5.4.1 阿当斯方法196

5.4.2 用待定系数法确定线性多步法202

5.4.3 予估--校正法208

5.5 线性多步法的进一步讨论212

5.5.1 收敛性、稳定性和相容性212

5.5.2 绝对稳定性214

5.5.3 李查德森外推法221

5.5.4 关于方法阶和步长的选择225

习题226

附录Ⅰ 拉普拉斯变换及其应用230

附录Ⅱ 拉谱拉斯变换表240

习题答案241