《常微分方程及其应用》求取 ⇩

第一章 微分方程问题的提出1

1.1 引言1

1.2 一些常见的微分方程问题1

一、自由落体运动的规律1

一、全微分方程2

二、单摆运动2

三、真空中的抛射体运动4

四、深水炸弹的水下运动5

五、电容器的放电规律6

六、质量和能量之间转换关系的规律7

七、运载火箭的运动规律8

八、行星运动规律和万有引力定律9

九、人造地球卫星的运动规律13

十、导弹的导引规律14

1.3 讨论意见16

第二章 微分方程的初等解法18

2.1 引言18

2.2 ？=f(t)型微分方程20

一、f(t)为连续函数情况21

二、f(t)有间断点，且在断点趋于无穷22

三、例23

2.3 ？-f(у)型微分方程25

一、f(у)在其定义区间内连续且不为零26

二、f(у)在其定义区间内某？处为零26

三、例26

2.4 分离变量型的微分方程28

一、g(у)≠0，？у∈(a1,a2)的情况28

二、g(?)=0,？∈(a1,a2),g(y)≠0，？y≠？的情况29

三、例29

2.5 齐次型微分方程30

二、h(ū)=ú的情况31

一、h(u)在其定义区间内连续，且h(u)≠u31

三、例33

2.6 ？=f(at+by)型微分方程35

一、例35

2.7 ？=f(？)型微分方程36

一、a1t+b1y+c1=0与a2t+b2y+c2=0的共同解的情况36

二、a1t+b1y+c1=0与a2t+b2y+c2=0无共同解的情况37

三、例37

2.8 一阶线性微分方程38

一、b(t)在(t1,t2)内恒为零的情况38

二、b(t)在(t1,t2)内不恒为零的情况38

三、例39

2.9 P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0型微分方程42

二、积分因子44

三、例46

一、克莱洛型方程50

2.10 克莱洛方程和拉格朗日方程50

二、拉格朗日型方程51

三、例52

2.11 某些特殊的二阶微分方程54

一、F中不显含y54

二、F中不显含t55

三、例56

第三章 微分方程解的存在和唯一59

3.1 引言59

3.2 微分方程解的局部存在性和唯一性61

3.3 微分方程解的延拓67

3.4 微分方程的解对参数和初值的关系70

一、解对参数的连续依赖性71

二、解对参数的可微性74

三、解对初值的连续性与可微性79

3.5 微分方程的变分方程82

一、参数扰动引起的微分方程的扰动83

二、扰动微分方程的解的一次近似表示83

三、扰动微分方程的解的二次近拟表示85

第四章 线性微分方程90

4.1 引言90

4.2 线性齐次矢量微分方程91

一、线性齐次矢量微分方程初值问题的解的表示式91

二、阵值函数Φ(t；to)的性质94

三、线性齐次矢量微分方程的基本解矩阵97

四、线性齐次矢量微分方程的通解100

4.3 线性非齐次矢量微分方程103

一、线性非齐次矢量微分方程初值问题的解的表示式103

二、线性非齐次矢量微分方程的初值问题的解的性质105

三、线性非齐次矢量微分方程的通解107

4.4 线性常系数矢量微分方程108

一、状态转移矩阵eAt的性质111

二、SAS-1的几种常见的形式112

三、状态转移矩阵eAt的构成117

四、线性齐次常系数矢量微分方程解的性质124

4.5 线性矢量微分方程的解法129

一、求解线性齐次矢量微分方程的待定常数法129

二、求解线性非齐次矢量微分方程的待定常数法132

三、高阶线性定常微分方程的解法135

四、欧拉方程137

第五章 稳定性139

5.1 引言139

5.2 微分方程解的稳定性141

一、李雅普诺夫意义下解的稳定性141

二、微分方程解的扰动和线性齐次方程的稳定性145

三、线性定常矢量微分方程解的稳定性148

四、线性非定常矢量微分方程解的稳定性155

一、正定函数及其有关性质162

5.3 李雅普诺夫第二方法162

二、李雅普诺夫直接方法及主要结果165

三、线性定常矢量微分方程的李雅普诺夫函数173

四、线性定常矢量微分方程解的过渡过程时间tp的估计178

5.4 一次近似理论182

一、线性化微分方程182

二、从A的本征值的状况判别方程的解的稳定性185

三、非线性微分方程的李雅普诺夫函数191

5.5 关于大范围(全局)稳定性的某些结果194

一、矢值函数及其雅可比矩阵的有关性质194

二、非线性矢量微分方程大范围稳定性定理196

三、非线性矢量微分方程解的过渡过程时间的估计199

第六章 二阶矢量微分方程解的性态201

6.1 引言201

6.2 二阶矢量微分方程的常点和奇点202

一、常点和奇点的有关性质203

二、无切线段的主要性质204

三、微分方程的解在常点附近的性态206

6.3 二阶矢量微分方程的奇点209

一、齐次微分方程的一次奇点及其分类209

二、微分方程的解(轨线)在一次奇点附近的性态220

三、微分方程的非一次奇点223

6.4 微分方程的极限环228

一、微分方程的周期解229

二、微分方程的轨线在极限环附近的性态233

三、极限环存在的判别法237

参考资料250

附录一252

附录二252

附录三254

附录四263