《应用偏微分方程》

前言1

第一章生物群体动力学1

1 人口模型1

1.1 人口问题的常微分方程模型1

1.2 人口问题的偏微分方程模型6

1.3 解的存在唯一性及递推表达式10

1.4 解的性质14

1.5 对模型的进一步分析与讨论15

1.6 威尔霍斯特型的偏微分方程人口模型19

2 传染病动力学模型20

2.1 传染病动力学的常微分方程模型20

2.2 传染病动力学的偏微分方程模型27

参考资料33

习题33

第二章线性波35

1 弹性力学基础35

1.1 应变36

1.2 应力40

1.3 虎克定律46

1.4 弹性力学基本方程组50

2 线性波的一个物理模型——弹性体的振动52

2.1 弹性动力学基本方程组52

2.2 弹性波的传播——膨胀波和畸变波54

2.3 弹性波的传播——表面波58

3 弹性波的反射62

3.1 入射波和反射波62

3.2 平面波在自由界面上的反射——入射P波情况67

3.3 平面波在自由界面上的反射——入射SV波情况70

3.5 平面波在固定界面上的反射——入射P波情况74

3.4 平面波在自由界面上的反射——入射SH波情况74

3.6 平面波在固定界面上的反射——入射SV波情况76

3.7 平面波在固定界面上的反射——入射SH波情况77

4 弹性波的折射78

4.1 弹性波在交界面上的反射和折射78

4.2 弹性波在交界面上的反射与折射——入射P波情况80

4.3 弹性波在交界面上的反射与折射——入射SV波情况85

4.4 弹性波在交界面上的反射与折射——入射SH波情况85

5 几何光学近似86

5.1 几何光学与波动光学86

5.2 波动方程的特征和次特征89

5.3 几何光学近似92

习题96

参考资料96

1.1 追赶问题97

1 追赶问题97

第三章激波97

1.2 疏散波与压缩波101

2 交通模型103

2.1 连续流模型103

2.2 不连续流模型——激波107

2.3 间断稳定性条件111

3 气体动力学方程组114

3.1 气体动力学方程组114

3.2 一维流、柱对称流及球对称流124

3.3 间断条件、激波135

3.4 激波的反射139

4 量纲分析方法141

4.1 量纲141

4.2 量纲分析144

5.1 气体的自模运动148

5 气体动力学方程组的自模解148

5.2 自模运动的一些实例151

5.3 自模运动的微分方程组155

5.4 自模运动的间断条件156

习题159

参考资料160

第四章孤立波161

1 KdV方程的物理来源161

1.1 关于孤立波的历史回顾161

1.2 KdV方程的导出163

2 KdV方程和线性可积系统，Backlund变换169

2.1 Lax对169

2.2 B？cklund变换，Darboux变换171

3 反散射方法175

3.1 散射问题175

3.2 反散射问题179

3.3 KdV方程的反散射解法183

4 其它的孤立子方程189

4.1 Sine-Gordon方程189

4.2 MKdV方程191

4.3 非线性薛定谔方程192

4.4 AKNS系统192

习题193

参考资料194

第五章反应-扩散195

1 反应-扩散方程(组)195

1.1 化学反应扩散方程(组)195

1.2 化学反应项的决定197

1.3 在生物群体动力学中的应用199

1.4 反应扩散方程(组)200

2.1 行波解201

2 行波解201

2.2 波前解204

2.3 初值问题正解关于波速c的单调性208

2.4 波前解的存在性211

3 比较定理225

3.1 比较定理225

3.2 上、下解方法227

4 解的渐近性态235

习题240

参考资料241

第六章等值面边值问题242

1 引言242

2 问题的归结244

2.1 电缆周围的稳定温度场244

2.2 带电导体外的静电场246

2.3 稳定电流的电场247

2.4 空心柱形杆的弹性扭转250

3 与典型局部边值问题的联系257

4 变分原理和广义解261

5 解的极限性态265

6 边界条件的均匀化267

7 发展方程的情形269

习题271

参考资料272

附录常微分方程几何理论273

1.n维自治系统，轨线273

2.二维线性自治系统的平衡点275

3.二维非线性自治系统的平衡点281

4.二维自治系统解的全局结构284