《偏微分方程》

第一章 一阶方程1

1. 引言1

2. 例1

3. 一个简单方程的解析解与近似方法4

习题9

4. 拟线性方程10

5. 拟线性方程的Cauchy问题12

6. 例16

习题21

7. 关于二元函数的一般一阶方程22

8. Cauchy问题28

9. 用包络生成解33

习题35

第二章 二阶方程：关于二元函数的双曲型方程37

1. 线性和拟线性二阶方程的特征37

2. 奇异性的传播39

3. 线性二阶方程42

习题44

4. 一维波动方程45

习题50

5. 一阶方程组52

习题58

6. 拟线性方程组与简单波59

习题60

1 L.Schwartz的记号61

第三章 特征流形与Cauchy问题61

习题62

2. Cauchy问题63

习题69

3. 实解析函数与Cauchy-KoвaлeвckaЯ定理69

(a)多重无穷级数69

习题71

(b)实解析函数73

习题75

(c)解析函数与实解析函数80

习题82

(d)Cauchy-KoвaлeвckaЯ定理的证明84

习题89

4. Lagrange-Grean恒等式91

5. Holmgren唯一性定理92

习题101

6. 分布解102

习题106

第四章 Laplacc方程108

1. Green恒等式，基本解和Poisson方程108

习题116

2. 极值原理119

习题121

3. Dirichlet问题，Green函数和Poisson公式122

习题127

4. 用下调和函数证明Dirichlet问题解的存在性(“Perron方法”)129

5. 用Hilbert空间方法解Diricblet问题135

习题135

习题144

第五章 高维双曲型方程146

1. n维空间中的波动方程146

(a)球面平均法146

习题153

(b)Hadamard降维法155

习题156

(c)Duhamel原理和一般Cauchy问题157

习题162

(d)初边值问题(“混合”问题)162

习题165

(a)初值问题的标准形167

2. 常系数高阶双曲型方程167

习题169

(b)用Fourier变换求解169

习题181

(c)用Fourier变换解混合问题182

(d)平面波方法184

习题187

3. 对称双曲方程组189

(a)基本的能量不等式189

习题197

(b)用有限差分方法证明解的存在性201

习题211

(c)用解析函数逼近的方法证明解的存在性(Schauder方法)212

第六章 常系数高阶椭圆型方程216

1. n为奇数时的基本解217

习题219

2. Dirichlet问题222

习题228

3. 关于Hilbert空间Hμo和Dirichlet问题边界值假设的进一步讨论232

习题235

第七章 抛物型方程242

1. 热传导方程242

(a)初值问题242

习题250

(b)极值原理，唯一性和正则性252

(c)混合问题258

习题258

习题260

(d)非负解261

习题266

2. 一般的二阶线性抛物型方程的初值问题266

(a)有限差分法和极值原理266

(b)初值问题解的存在性271

习题274

第八章 关于无解的线性方程的H.Lewy的例276

习题280

参考文献281

记号283

索引285